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possiamo concludere che la espressione di 9 in coordinate 

 u e V è della forma 



L) 9 E (U — V) (rfM2 4- ch^) , 



indicando con U e V delle funzioni rispettivamente dì u e ! 



di V soltanto. " 



Reciprocamente supponiamo che esista un sistema di t 



coordinate ortogonali uè v ^ per le quali 9 assuma una 1 



espressione della forma (L) ; e designamo rispettivamente ì 



con X^ e X^ i sistemi coordinati covarianti delle linee di i 



parametri u % v . Posto , 



i 



22) e-2|^ = U — V li 



II 



le (20) e (21) (M , 10) sussisteranno ancora e per esse de- ■ 

 rivando la (22) ed adottando per le derivate di C/ e F la : 

 notazione di Lagrange troveremo le ' 



2e-^v^, + U\ — V^X, = . \ 



Da queste si traggono le u 



i 

 2e»t^y + U' = , 2^'i^(y) + V^ = '' 



e mediante ulteriori derivazioni le 



2e-4fi(3Y^,. — Y,) — U"X;. == 

 2.-¥(3(t)?..-(t).)-V'%.-0, 



e in fine da queste le (19). 



Chiamerò sistemi isotermi di Liouoille quelle cojìpie 

 di sistemi ortogonali, pei quali la forma fondamentale 

 assume una espressione del tipo (L). Cosi i risultati ottenuti 

 possono enunciarsi nel modo seguente : 



1." « Le equazioni (19) rappresentano le condizioni 

 « necessarie e sufficienti perchè la coppia di sistemi ortogo- 

 « nali (X^.X^.) costituisca un sistema isotermo di Liouville ». 



2° «Ad ogni integrale quaih'atico per la equazione 



