[19] (661) 



« delle geodetiche sulle superficie cp corrisponde uno ed un 

 « solo sistema isotermo di Liouville, e reciprocamente ad 

 « ogni sistema isotermo di Liouville corrisponde uno ed un 

 « solo integrale quadratico per la equazione delle geode- 

 « tiche. Se 



(U— V) {du^--\-dv^) 



« è una espressione della forma fondamentale, l'integrale 

 « quadratico corrispondente al sistema di coordinate {uv) 

 € può mettersi sotto la forma 



Ucos2c}j -f- Vsen2(|j = e , 



« indicando con ^ l'angolo, che le linee di un sistema geo- 

 « detico fanno con le linee di parametro ii e con e una 

 « costante arbitraria ». 



Avvertirò infine che, come risulta dalle (17|), le linee 

 di curvatura del fascio, cui appartengono le linee u e v, 

 sono (M , 7), le linee di parametro U — V e che, indican- 

 do, come farò in seguito, con ds e 5^ due spostamenti infini- 

 tesimi secondo le direzioni positive delle linee \. e X,. e con 

 d\i e S[Jt le variazioni corrispondenti di una funzione qualun- 

 que [i , le equazioni (19) si possono scrivere sotto la forma 



8. — Come si è dimostrato, la esistenza e la determi- 

 nazione degli integrali quadratici per la equazione delle 

 geodetiche sulle superficie cp , dipende dalla esistenza e dalla 

 determinazione dei sistemi isotermi di Liouville sulle super- 

 ficie stesse. Di questo problema ci occuperemo quindi nel 

 seguito del presente scritto. 



Alle equazioni (19), che, per quanto si è visto, carat- 

 terizzano i sistemi isotermi di Liouville, si deve aggiun- 

 gere (M, 8) una equazione, che de_ve aver luogo in 

 ogni caso tra i sistemi coordinati \. , X,. di una coppia di 



