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sistemi ortogonali di linee, le curvature geodetiche y e (y) 

 di queste e la curvatura totale G delle superficie 9 . Intro- 

 ducendo una indeterminata a sostituisco a questa equazione 

 un sistema equivalente di due equazioni e concludo che afì^n- 

 chè una coppia {\.\.) di sistemi ortogonali di linee costituisca 

 un sistema isotermo di Liouville è necessario e sufficiente 

 che si possa soddisfare al sistema di equazioni simultanee 

 (M, 2, 4, 7, (12), (140) 



aj S,1<'U, = 1 



[ S,T^'U, = - 3t(y) -:,f% ==. 1 (a + G) + (y)^ 

 cj\ 1 ^ _ 



In queste le funzioni incognite sono Xj , X^ , y , (y) ed a , 

 mentre Xi e hj, sono funzioni note di X^ , X2 e dei coefficienti 

 della forma fondamentale. Noi dobbiamo dunque indagare in 

 quali casi esista una soluzione pel sistema di equazioni simul- 

 tanee, che comprende le (a), {b) e (e) ; ed in ogni caso 

 vedere come se ne possano determinare tutte le soluzioni. 

 Con questo intento noi verremo aggiungendo al sistema 

 proposto quelle equazioni, che se ne possono ottenere me- 

 diante successive derivazioni, e che non fossero conseguenze 

 del sistema stesso; e stabiliremo sotto quali condizioni si 

 possa giungere ad un sistema completo, le cui equazioni 

 siano fra loro compatibili. 



Come sappiamo (M , 4, 8) e come si verifica facilmente, 

 le equazioni, che si ottengono derivando le (a), sono conse- 

 guenze delle {b) e quella, che si ottiene derivando le {b) 

 ed eliminando le derivate secondo delle 1,. , cioè leX,,^, è 

 compresa tra le (e) . Derivando il sistema, di cui ci occu- 

 piamo, rispetto ad Xi ed x-), non dol)1)iamo (juindi aggiungere 

 ad esso altre equazioni che quelle, che si ottengono deri- 

 vando le (e) ed eliminando le derivate seconde di y e (y) . 



