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E siccome queste ci danno le proiezioni dei parametri di 

 I." ordine di y e (t) sulle linee X,. e X,., le due equazioni, di 

 cui si tratta, ci sono date da un noto teorema (M , 8, a). 

 Indicando con p la curvatura del fascio, cui appartengono 

 le linee X,. , queste equazioni, che sono 



\ S,a*'->X, = - S,G('-)X, - 2(y) {4f + 3a + G) 



^; j xM'%. = ^rG^^'^V - 2t(4p'- — 3a + G) , 



ci danno alla loro volta le proi_ezioni del parametro di I.° 

 ordine di a sulle linee X, e X, , ed applicando ancora il 

 teorema citato conducono alla 



,; 5[{y)2,G^% - t2,.G('-)X,] + 2,,G(-')XA = . 



9. _ Sistemi isotermi di Lioiwille sulle superfìcie a 

 curvatura costante. — Se si suppone G costante la [e] si 

 riduce ad una identità e per completare il sistema, che 

 comprende le equazioni {a) (b) e (e), basta aggiungere ad 

 esso le equazioni {<!) dopo avervi posto G^i' = G<'^> = . Il 

 sistema più generale, che soddisfi alle equazioni stesse, con- 

 tiene quattro costanti arbitrarie, e possiamo quindi conclu- 

 dere che 



« Sopra ogni superficie a curvatura costante esiste un 

 » numero oo* di sistemi isotermi di Liouville, i cui sistemi 

 » coordinati (X^) si ottengono integrando il sistema com- 

 » pleto, che comprende le equazioni {a), {b) (e) e le 



v.a(%-:-2(T)(4p2 + 3a + G) 

 2^a( ~X, = — 2Y(4p2 - 3a + G) , 



» essendo p2 = yS _|_ (y)2 » . 



È in fatti noto che nel piano non vi sono altri sistemi 

 isotermi di Liouville che quelli, che risultano di due sistemi 

 di coniche omofocali o delle loro degenerazioni, i quali 

 costituiscono una multiplicità quattro volte infinita; e le 



