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equazioni più generali date dal signor Darboux pei sistemi \ 



isotermi di Liouville sulle superficie a curvatura costante i 



contengono cinque costanti arbitrarie e rappresentano quindi ] 



un numero quattro volte infinito di sistemi. I 



10. — Sia ora G variabile e si convenga di designare '•■ 



d'ora in avanti con k,. il sistema coordinato delle linee di f 



parametro G , che chiamerò brevemente linee G , con g > 



e {g) rispettivamente le curvature geodetiche di queste linee <j 



e delle loro traiettorie ortogonali k^ , con h V invariante * 



funzionale (M , 9) di 2.° ordine di G . Avremo le identità i 



(M,9, (24)). ;i 



1 



-3) ÀTg • ^^•'- ^ ^^'-^ ~ (^ + .9)(/w/v, — kX) — 



-{g)(kA+kA:)- ] 



Indichiamo con 'ji l'angolo, che conviene percorrere per 1 

 passare dalla direzione positiva delle linee X,. a quella delle | 

 linee k^. ed avremo (M , H, (11) : 



24) cos']; =r v,.^('U,. = y.^k^'X , sen-l = ^,k^'% = — :i^^'X . i; 



Per queste si trae dalla (23) la 



1 



-^ 2,,G(->X,X, = - (/i + ^)sen2cl> - (^)cos2(]; , 



ed avendosi pure (M , 3) 



1 



^'^•-^,G 



e quindi 



1 1 



l'equazione (e) prende la forma 



ei) 5[(y)cos'Jj -\- ysen'J;] = (/? -\- g)seìì2'\) -|- {g)cof^2^ 



