[23'| (^^^) 



Se si suppone ^ = , ovvero tjj = tt, si ha (y) = {g) o 

 (y) ^ — ((/) e la equazione precedente ci dà (^) = , e ci 

 dice quindi che affinchè le linee G facciano parte di un 

 sistema isotermo di Liouville è necessario che esse siano 

 geodeticamente parallele. Ne concludiamo che 



« Data una forma fondamentale binaria cp , il cui inva- 

 « riante G di Gauss sia variabile, perchè le linee G facciano 

 « parte di un sistema isotermo di Liouville è non soltanto 

 « necessario, ma anche sufficiente che K 9 sia l'espressione 

 « dell'elemento lineare di una superficie di rotazione ». 



11. — Alla equazione {e,) sostituisco ora il sistema 

 equivalente 



( ^^ = (gJ^h — ti)cos(|; — (p')sen(|) 



^^^ ì 5(y) = (^)cos'-j; -{-{g-\-h +ti)sen4> , 



essendo |x una nuova indeterminata. Per mezzo delle (24) 

 e (25) veniamo a sostituire due sole funzioni incognite {x e ^ 

 alle quattro y , (y) , ^i e h legate fra loro dalle equazioni 

 {a) ed (^i), ed ora dovremmo esaminare se dalle equazioni 

 {b) (e) e {d) dopo eseguita la sostituzione accennata, se ne 

 possono mediante derivazione trarre altre da esse indipen- 

 denti ; ma raggiungeremo lo stesso intento più speditamente 

 in altro modo. 



Designamo con /,. il sistema coordinato del fascio, cui 

 appartengono le linee k,. , cioè poniamo 



fr = gkr + {g)kr . 

 Avremo allora (M , 5) 



e da queste ricordando anche le 



Tr = T^r + (t)V 



