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e le (24), per le quali si hanno le }| 



S^.cp*'"'^,. = ycost]; -j- (Y)senc{;, 

 2,,(p<''>^^. = — Ysen?]^ -|- (y)cos'Ji , 



posto 



a ^ pr — ycos^jj — (Y)sen4' , P = (5^) — y»Qnf\) -\- (y)cos(]j 

 ovvero, sostituendo per Y ® (t) i valori dati dalle (25) , 



26) b(x.^^4g — /t-\- [xcos2'^ , ò[ò = 4{g) — |xsen24i . 



Stabilirò ora direttamente le condizioni necessarie e 

 sufficienti 



I.° Perchè il sistema (I), in cui per a e ^ si intendono 

 poste le loro espressioni date dalle (26), e ^ e \i- sono fun- 

 zioni incognite, ammetta una soluzione. 



IL° Perchè tra i valori di tjj , che soddisfanno alle (I), 

 ve ne sia almeno uno tale che le linee X,. facenti l'angolo 

 <\) colle linee G appartengano ad un fascio isotermo. 



III.° Perchè, supposte verificate le due prime condizioni, 

 le linee 1,. e le loro traiettorie ortogonali costituiscano un 

 sistema isotermo di Liouville. 



Per un teorema, che è stato qui ripetutamente appli- 

 cato, la prima condizione è rappresentata dalla equazione 



27) \^^^-%. - \ai''-% + a^ + {i{g) = . 

 Dalle 



^rs = fr. — ?r.. , 



designando ancora con e (^ le anisotermie dei fasci cp^ 

 ed f^, si avrà 



A2']; = 2(^-6) 



e quindi la seconda condizione, cioè la condizione {l-^rO, 

 si porrà dapprima sotto la forma 



