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di '\) e di [i, che verrebbero introdotte, per mezzo delle (1) 

 e (II), tenendo conto ancora della equazione (29) e ponendo 



ol^ U = 4(^ + hy2 + 6(^)2 4- 25G -10 S,(^(') + h^k, 

 'lB = -2{g){g + h)-\0:^,{9rK 



si perviene alla equazione 



III) 14 (5r)|x = A sen 2']j -{- B cos 2'^ 



Le equazioni (li) ci danno le proiezioni sulle linee k,. 

 e k^. del parametro di 1.° ordine della funzione \i. e però, 

 applicando ancora il ben noto teorema, se ne ricava una 

 nuova equazione, che deve essere soddisfatta dalle nostre 

 funzioni incognite. Posto 



S9) ^ A^ = 6 {pg - q{g) ) - 4ph + 5 {Z,q^'-% + S.p'^,) 

 ^^\B' = b(p{g) + qg) - 4qh - 5(S,p<'U, - Z.^CU,) , 



questa equazione è 



IV) — \4q\i = A'sen 2'\) + B'cos 2<\) . 



Ora possiamo concludere che 



a) « Affinchè una coppia (X,A,.) di sistemi ortogonali 

 » di linee tracciate sulle SLiperfìcie cp , la cui curvatura to- 

 » tale G si suppone variabile, costituisca un sistema isotermo 

 » di Liouville è necessario e basta che, designando con (j' 

 » V angolo, che le linee X^. fanno colle linee G, esista una fun- 

 » zione [Ji, la quale soddisfi simultaneamente alle equazioni 

 » (I), (II), (III), e (IV). » 



Ne segue che 



b) « Nel caso considerato sopra affinchè sulle super- 

 » ficie 9 esistano dei sistemi isotermi di Liouville è neces- 

 » sario e basta che esista una soluzione pel sistema di 

 » equazioni (I), (II), (III), e (IV), in cui (Jt e c{; sono da con- 

 » siderarsi come incognite. » 



