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12. — Sistemi di Liourille sulle superficie applica- 

 bili sopra sitperftcie di rotazione. — Queste superficie sono 

 caratterizzate dalle equazioni 



33) [g) = 0,q = 0, 



per le quali le equazioni (29) e (30) assumono la forma 



34) ^rg^''\. = ^,M^'%- = , 1^,9^'-% = ^2 _]- G . 

 Se si suppone 4' = 0> le equazioni (I) assumono la forma 



a==0 [i = 0. 



Di queste la seconda, come ci dicono le (26), è identica- 

 mente soddisfatta, mentre la prima dà 



[L = h — 4g . 



È poi facile riconoscere che questo valore di \i soddisfa 

 alle (II) e che, mentre la (III) si riduce ad una identità, è 

 pure soddisfatta la (IV), che in questo caso si riduce alla 



In fatti dalle (34) si hanno successivamente le 



e combinando questa colla (28) e colle (34) si perviene alla 

 equazione, che si tratta di dimostrare. Cosi si verifica colle 

 nostre formole che i meridiani ed i paralleli costituiscono 

 un sistema isotermo di Liouville sulle superficie di rivolu- 

 zione. 



Prescindendo da questo sistema, possiamo supporre 4" 

 differente da 6* e da ti e la equazione (III) si riduce alla 

 A:^0 e, tenuto conto delle (34), assume la forma 



Iir) I0^,h^'-^k',. = 15G + 2[2h{h + 2g) — 3^2] 



