(670) [28] ^j 



Si ha quindi anche |j 



\0p = — 2òG-{-2h{2h — g) — 6g^^; ■ !, 



e poiché B^ è identicamente nullo, la (IV) si riduce alla | 



A'' = 0, cioè, sostituendo per p il valore testé trovato, di- 1 



venta | 



IVO 25A,G == 3(2h — 3g) [oG + 2g{g + /?)] j 



'i 

 Se questa si deriva, se si osserva che per le (33) é (M, (25)) 



{àfi\.= {2h^g)\,G.\, j 



e si tien conto ancora delle (34) si perviene alla \ 



35) (15G-f4/r2-f8/2^— 6p5-10S,/i('''Ì^)(5G+4%— ^2)^0 ] 

 Se si suppone ' 



36) 5G = ^2 _ 4Jig \ 



e si sostituisce questo valore di G nella (IV^) si trova i 



25A.G =:-3{2h-3gr^g, l 



mentre calcolando il A^G dalla (35) e tenendo conto delle fe 



(34) , della (Iir) e della (36) si trova la :; 



2Ò^ fi ^2(2/1 -3g)^g, [ 



la quale non può essere soddisfatta assieme alla precedente se 

 non è AiG = 0, cioè G costante. Escludendo poi il caso ;] 

 che sia soddisfatta la (36) , la (35) ci conduce alla (Iir)j e ■: 

 quindi la (IV'') rappresenta la condizione necessaria e suf- ì 

 ficiente perché sulle superficie, che consideriamo, esistano ! 

 altri sistemi isotermi di Liouville oltre quello, cui appar- - 

 tengono le linee G. Verificata la (IV^ , le equazioni (I) e i 

 (II) costituiscono un sistema completo, la cui soluzione ge- 

 nerale contiene due costanti arbitrarie. Tenendo conto delle i 

 (33) e sostituendo in esse per a, p e p ì loro valori, pos- ;•■ 

 siamo riassumere i risultati ottenuti nel teorema seguente, [i 



