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le quali assieme alla (37) ci danno le proiezioni sulle linee 

 k,, e k^. dei parametri di 1.° ordine delle funzioni g ed h. Da 

 esse si traggono (M, 8, {a)) le 



5 ^, oì^''% = (;2\g—4h)ià, 



il cui confronto conduce all'una od all'altra delle 



39) ià = , 2h = 3g. 



Siccome poi la seconda di queste combinata colla (38) 

 ci riconduce ancora alla prima, la quale per la (30) ci dà 

 q = 0, possiamo concludere che 



« Se K 9 è l'espressione dell' elemento lineare di una 

 » superfìcie a curvatura totale variabile G , su cui le linee 

 » G sono parallele, ma non isoterme, sulle superfìcie cp non 

 » esiste alcun sistema isotermo di Liouville. » 



In altri termini 



« Tra le superfìcie a curvatura totale variabile G , su 

 » cui le linee G sono parallele, quelle applicabili sopra 

 » superficie di rotazione sono le sole, per le quali esistono 

 » dei sistemi isotermi di Liouville. » 



14. — Il teorema del § precedente ci permette di li- 

 mitare, come faremo in seguito, la ricerca dei sistemi iso- 

 termi di Liouville a quelle superficie a curvatura varia- 

 bile, su cui le linee G non sono parallele, per le quali 

 cioè (g) è differente da 0. 



Il confronto delle equazioni (III) e (IV) ci conduce alla 

 equazione 



40) [^A 4- (g) A'] sen 2']; -f [qB + (^)B^] cos 2^ = 0. 

 Se non sono soddisfatte le equazioni 



41) qA + {g)A' = ^B + (^)B^ = 0, 



