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la equazione (40) determina completamente una coppia di 

 sistemi ortogonali {\.\.) ^ ^^ P^^ò concludere che 



« Se Kcp è la espressione dell'elemento lineare di una 

 » superficie a curvatura varia])ile G, per la quale non sono 

 » identicamente soddisfatte le equazioni (41), le supeflcie cp 

 » sono al più dotate di un sistema isotermo di Liouville, se 

 » tale è la coppia di sistemi ortogonali, per cui l'angolo <\) 

 » è determinato dalla equazione (40). » 



Il § 7 ci dà modo di riconoscere se questo sistema è 

 non è un sistema isotermo di Liouville e nel caso, in cui 

 non siano soddisfatte le equazioni (41), ci dà quindi le con- 

 dizioni necessarie e sufficienti perchè sulle superficie cp , 

 supponendo sempre G variabile, esista un sistema isotermo 

 di Liouville. 



15. — Sistemi isotermi di Liouville sulle superficie 

 a curvatura G variabile , su cui le linee G sono isoterme. 

 Le equazioni (28) e (30) ci danno le proiezioni sulle linee 

 k,. e k,. dei parametri di 1° ordine della funzione h espressi 

 per p e g. Da esse scende quindi pel teorema ripetuta- 

 mente applicato la equazione 



42) :i,p('U, + 2,r/"-'^, + 2 [{h-g) q+io) PÌ + 8 {g) G= 0. 



Voglio ora considerare il caso, in cui le linee G sono i- 

 soterme e non parallele cioè in cui è g = e {g) diff'e- 

 rente da (il caso, in cui si abbia contemporaneamente 

 q = [g) = essendo già stato esaurito nel § 12). In que- 

 sto caso la (42) assume la forma 



2,p('-)/&, = -2(^)(p + 4G) 

 e le (32) danno 



A^ = 2p (3^ — 2h)-\-ò 2,pmr 

 B' = 8{g) (2p + 5G) . 



