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Le equazioni (41), che si riducono nel nostro caso alle 



A' = B' = , 



comprendono dunque la 



2p + 5G = 0, 

 da cui si trae 



43) 2,p('-)ft,. =: 



e quindi, per le (42''), jo=:G = 0. Dunque per la classe di 

 superficie, che ora consideriamo, le equazioni (41) non pos- 

 sono essere identicamente soddisfatte, e dal teorema del § 14, 

 tenendo conto della (42^) e della forma speciale, che assu- 

 mono in questo caso la equazione (40) e le espressioni di 

 A' e B', deduciamo che 



« Se le superficie cp sono a curvatura variabile G e 

 » le linee G sono isoterme, ma non parallele, sovra di esse 

 » esiste al più un sistema isotermo di Liouville, se tale è il 

 » sistema doppio ortogonale, per cui l'angolo 2c|; è deter- 

 » minato dalla equazione 



» posto 



A' sen 2tl; + B'cos2(|;=:0, 



A^ = 2p {3g — 2h)-{-5 :^,p^'-% 

 B' = S{9){2p-\-5G) 

 p = :i^M'^k, — gh — 4Q. 



» Per decidere se questo sia o non sia un sistema isoter- 

 » mo di Liouville serve il criterio contenuto nel teorema 

 » del S. 7. » 



16. — Sistemi isotermi di Liouville pey^ le superfìcie 

 applicabili sopra superfìcie a curvatura media costante. 

 Gli elementi lineari delle superficie a curvatura me- 



