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Indicando con a l'angolo, che le linee di curvatura del fa- 

 scio, cui appartiene il sistema 1, , fanno colle linee X, , que- 

 st' ultima equivale (M , 7, (19)) alla 



sen (a 4- ^) = • 



In essa si legge quindi la seguente notevole proprietà dei 

 sistemi isotermi di Liouville sulle superficie, di cui ora ci 



occupiamo. _ 



« Se una copia {\.\) di sistemi ortogonali di linee 

 » tracciate sopra una superficie applicabile sopra una su- 

 » perficie a curvatura variabile ed a curvatura media co- 

 » stante, ma non applicabile sopra una superficie di rota- 

 » zione, costituisce un sistema isotermo di Liouville, l'an- 

 » golo formato dalle linee G colle linee di_ curvatura del 

 » fascio, cui appartengono le linee X, e a, è bisecato in 

 » ogni punto da queste linee. » 



17. _ Superfìcie dotate di un numero semplicemente 

 infìnilo di sistemi isotermi di Liouville. — Quando le equa- 

 zioni (41) sono soddisfatte, le (III) e (IV) si riducono ad 

 una sola e possiamo limitarci a considerare la prima, la 

 quale, supponendosi {g) diverso di o, determina jx in fun- 

 zione di '|. In questo caso, come risulta dal teorema (6) 

 del § 11, perchè sulle superficie (p esistano dei sistemi iso- 

 termi di Liouville, sarà necessario e sufficiente che si possa 

 soddisfare alle equazioni, che risultano dalla sostituzione 

 del detto valore di ^ nelle (I) e (II), le quali non conter- 

 ranno allora altra funzione incognita all' infuori di '];. 



Posto 

 48) 14((7)P = A, 14(^)Q, = B , 



la equazione (III) assume la forma 



ni,) |i = P sen 24^ -j- Q cos 2'^ 



e, tenendo conto anclie delle (I), se ne ricavano le 



