(678) P36] 



\^^'-)kr = 5 (P cos 2^ — Q sen 2^) {4:g — h-[-^ cos 2^) + 



+ sen 2(];2^P('U, + cos 2(L2 0('->^,. 



-rR'"^. =g (P COS 2'^ - Q sen 2'|) [4((7) _ [jt sen 2^] + 



+ sen 2^^,:P^>%. + cos 2 ^^,Q('->^, . 



Queste poi confrontate colle (IIj conducono alle 



49) 



C sen 2'^ + D cos 2(]j = 



C'sen 2^ + D^cos 2^ = , 

 nelle quali si è posto 



ÌC ^ 5:£,P('U^. - 5p + 2Q(^ _ 4g) + P(2P - 3(^) ) 

 D = 52,Q(% -hq- 2P{h - Ag) + Q(2P - %) ) 

 C^ = 52,P('-)^, 4- bq - 8Q(5r) + P(2Q, + 3^ - 2h) 

 D^ = 52,Q('U,. - 5p + 8P(pr) _]- Q(2Q + 3^ - 2h) 



Perchè sulle superficie 9 esista un numero infinito di si- 

 stemi isotermi di Liouville è dunque necessario che le (49) 

 siano identicamente soddisfatte, cioè che si abbiano le 

 identità 



E) c = D = C' = D' = 0. 



Queste condizioni sono però anche sufficienti, poiché, co- 

 me risulta dal § 11, in questo caso il sistema di equazioni, 

 che si ottiene dalle (I) sostituendovi per |jt il valore dato 

 dalla (III) è completo ed ogni sua soluzione ci dà un si- 

 stema isotermo di Liouville, poiché sono soddisfatte assieme 

 alle (I) anche le (II) e (ITI). Le equazioni (41) e quindi la 

 (IV) debbono quindi essere conseguenze delle (E), come si 

 può verificare osservando che le (50), tenendo conto delle 

 (E), ci danno le proiezioni sulle linee k^. e\ dei parame- 

 tri di L° ordine delle funzioni P e Q, ed applicando il 

 noto teorema. E poiché l'integrale generale del sistema (I), 

 in cui si supponga eseguita la accennata sostituzione, con- 

 tiene una sola costante arbitraria, quando siano soddisfatte 



