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le condizioni (E), sulle superficie 9 esisterà un numero 

 semplicemente infinito di sistemi isoteruìi di Liouville. — 

 Concludiamo che 



« Se le superficie, i cui elementi lineari hanno per 

 » espressione )/(p , sono a curvatura totale variabile G, ma 

 » non sono applicabili sopra superficie di rotazione, sovra 

 » di esse esiste al più un numero semplicemente infinito 

 » di sistemi isotermi di Liouville. Perchè questo caso si 

 » verifichi è necessario e sufiiciente che siano soddisfatte 

 » le equazioni (E) e, se queste sono soddisfatte, per otte- 

 » nere tutti i sistemi di Liouville, di cui le superficie cp 

 » sono dotate, è necessario e basta integrare il sistema 

 » completo di equazioni a derivate parziali di l.*' ordine 



» nelle quali sia posto 



5a = 4f/ — /? -]- (P sen 2^ + ^ ^^^ ^^) ^^^ ^'^ 

 5p = 4{g) — (P sen 2t|j -f Q cos 2<\)) sen 2'^ . 



» In queste gli invarianti h, g, {g) hanno i significati 

 » già stabiliti e sono di 2° ordine rispetto a G; P e Q 

 » sono dati dalle equazioni (18) combinate colle (31) e sono 

 » di 3.° ordine rispetto a G; mentre la funzione incognita (]; 

 » rappresenta 1' angolo, che le linee del sistema cercato 

 » fanno colle linee G. » 



18. — Se è soddisfatta la equazione 



F) CD^_C'D = 0, 



senza che siano soddisfatte le (E), le superficie <p, per cui 

 si suppone sempre {g) diff'erente da 0, possono ammettere 

 al più un sistema isoternio di Liouville, se tale è quello 



