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costituito dalla coppia di sistemi ortogonali determinata 

 dall' ima o dall' altra delle equazioni (49), che per la (F) 

 si riducono ad una sola. Per riconoscere se la coppia, di 

 cui si tratta, costituisca un sistema isotermo di Liouville 

 varrà anche in questo caso il teorema 1.° del § 7 ; ma è 

 da avvertire che pel teorema del § 10 si può risparmiare 

 la verifica nel caso che siano soddisfatte le equazioni 

 C = C^ = 0; senza che lo siano contemporaneamente le 

 D ^^ D^ = 0, o queste senza di quelle. 



Osserverò ancora che in questo caso, come nel caso 

 del § 14, cioè tutte le volte che una superficie è dotata 

 di un solo sistema isotermo di Liouville (X^T^) , i sistemi 

 coordinati X,. , X^ riescono determinati mediante semplici 

 differenziazioni, e nello stesso modo risulta quindi deter- 

 minato anche 1' unico integrale quadratico, che in questo 

 caso esiste, per la equazione delle geodetiche. La effettiva 

 riduzione della forma fondamentale al tipo di Liouville 

 non l'ichiede poi altro che semplici quadrature e quindi 

 per queste superficie possono riguardarsi come risoluti tutti 

 i problemi, la cui risoluzione dipende dalla determinazione 

 di un sistema di coordinate ortogonali ed isoterme. 



Quando la espressione più generale dei sistemi coor- 

 dinati (X,.X,.) per i sistemi di Liouville relativi ad una classe 9 

 di superficie applicabili contiene un certo numero di co- 

 stanti arbitrarie, come risulta dal § 6, la espressione più 

 generale degli integrali quadratici per la equazione delle 

 geodetiche ne contiene una di più. Riportandoci quindi ai 

 risultati dei §§9, 12 e 17 possiamo asserire che 



1.° La e((uazione deUe gtMxh^iiche non ammette luai 

 più di cinque integrali primi (juadratici indipendenti, e 

 questo numero è raggiunto effettivamente e soltanto per 

 le superficie a curvatura costante. 



2." Il numero degli integrali primi quadratici indipen- 

 denti per la equazione delle geodetiche non può mai es- 

 sere eguale a quattro. 



3." Il numero stesso è eguale a tre soltanto per una 



