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Ora chiamando pi , p^ le due perpendicolari condotte dal- 

 l' origine ai due spazi determinanti il piano, ed r la retta, 

 si ha : Sen 9 = ^[cos^jo^r -|- coiì^p^r] . 



Questa relazione sussiste anche nella goniometria sfe- 

 rica ordinaria per un quadrispigolo in cui r ed h sieno 

 due spigoli e gli altri due pi e p.2 facciano con h un trie- 

 dro tri rettangolo. Qui invece 1' angolo r^A è sostituito da 

 quello che la retta r forma col piano dato. 



31.° — Se il piano fosse 1' uno dei coordinati, per 

 esempio quello X =; Y = si avrebbe 



Sen '■!^= \/ 



1+X2 



l+À^ + |a2 + v^>J 



; COS O = |/ 



[i^2 + v2 



1 -f- X"2 -|- |X2 _|_ v-2 



e dicendo cpi , ^p^ , ?3 ? '■P4 < ?5 > 'fC) i sei angoli di quelle 

 rette coi sei piani coordinati, esprimendo con -i sen^tp e 

 con 2] cos '^9 le somme dei quadrati dei loro seni e dei 

 loro coseni si ha 



S sen"- cp = S cos^ rp = 3 



32.° Se il piano passante per 1' origine non fosse uno 

 dei coordinati, ma la retta fosse uno degli assi per esem- 

 pio, r asse X = Y = Z = sarebbe 



sen 9 = ^[cos"2 h^ -\- cos"^ 62] . 



33.° — Il cono C3 di 2.° ordine è il luogo delle rette 

 che formano un angolo costante con un piano fìsso e 

 passano per un punto fisso del piano stesso. Sia il punto 

 fisso preso nell' origine e 9 1' angolo costante, sarà : 



1 -|- X2 . , ij z t 



tang"^9 = -r— i — r; cioè essendo X=^: um — ; v = — : 



° ^ V2 -|- [Jl2 X X X 



x"^- -|- ìf- = tang"^^ (j2 _|_ ^2) sarà 1' equazione del cono 

 in discorso. Il piano XY sarà il piano assiale, che non 

 incontra, come fu osservato, il cono stesso ; infatti per 

 x = ij = 0, si ha 22 _j_ ^2 = . 



