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passa per gli stessi tre punti, ma per tre punti non possono 

 passar due piani, dunque etc. 



5.° In generale se R^ ha h -\-l punti in R^-i , {h <:.n) 

 vi starà per intera. Se fosse h=-3 ì punti sarebbero 

 4 ; e si avrebbero quattro piani. Consideriamo i due ABC, 

 ABI). Si pratica il ritaglio e si fa l'arrovesciamento inver- 

 tendo le posizioni dei due piani ; se tutti i punti di R3 , non 

 restassero in R^^_i si farebbero passare due spazi R3 per 4 

 punti ; e ciò è assurdo. 



Tutta la dimostrazione dunque dipende dal numero delle 

 condizioni determinanti lo spazio R^ le quali sono h-\-\. 



Q.° Se due spazi R***„_i , R'^';,_i hanno in comune un 

 punto si segano in uno spazio R„-2 . 



Invero questi due spazi separano R„ in quattro re- 

 gioni ; ora sia P il punto comune e per P si conducano 

 in R**'„_i due rette che attraversino R*2',j_i . Sieno (ui^'a) > 

 (^1 ^^2); le due porzioni che stanno da una banda e dall'altra; 

 una retta che si appoggi ad aifii attraversa senza dubbio 

 R*'2)^^_^ (n°. 1) e sta in R'**„_i , dunque detto Q, il punto di 

 attraversamento, i due spazj avranno in comune la retta PQ, 

 dunque si segano, intanto, in una retta che passa per P. 

 Ora per la retta PQ si conducano in R'*l„_i due piani a e ^ 

 e sieno (a^a^) (Pil^a) le porzioni che stanno nelle due regioni 

 opposte di R'-*,,-i , e sopra di ai ^j si ponga in R'^*„_i un 

 piano, questo attraverserà, almeno in un punto H lo 

 spazio R*2'„-i e giacerà in R**'„_i , dunque i due spazj R**'„-i , 

 R<"^\,_i oltre quella retta PQ, hanno in comune il punto H 

 e quindi il piano (PQ) H. Ora per il detto piano comune 

 si facciano passare due spazj R<i*3 , R'^^j e sieno (X^Xa) 

 (YiY^) le porzioni che stanno parte per parte delle due 

 regioni di R'"^V,_i e che stanno in R**'„_{ , e si conduca, 

 R'*',,_i uno spazio che attraversa XiYi esso segherà R*"2*,;_i , 

 almeno in un punto e cosi quei due spazj R*i*j,_tR*"^*,^_i 

 avranno in comune uno spazio R***3 passante per quel piano 

 e quindi per quel punto P. Collo stesso ragionamento si 

 giunge a provare che hanno in comune uno spazio R,j-2, 



