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gmnto di quello : ossia, ogni soluzione y^ dell' equazione 

 f[ì/) = rende il prodotto 2/;F(?/) uguale alla derivata di 

 un polinomio differenziale in >/ , d'ordine (n — 1)-. 



Affinchè / {y) sia tale che il prodotto fra esso ed una 

 soluzione qualunque ?/, dell'equazione /*(^) = risulti, e 

 solamente allora, la derivata di un polinomio d" ordine 

 (n — 1) - , dovrà essere : 



(_l)«.F(//) = /-(^). 



Cioè, il polinomio f{jj) dovrà coincidere col suo aggiunto, 

 se è d' ordine pari ; o differirne solo per il segno, se è 

 d' ordine dispari. 



Ora, sviluppando le derivate che compariscono nell'e- 

 spressione di F {(/) , troviamo facilmente : 



F (i/) = l ^r ir con [i, = (- i)'-.T(- 1)-^' (:V) ^?i. • 







E quindi, affinchè f{u) goda dell'accennata proprietà, sarà 

 necessario e sufficiente che le a siano legate da relazioni 

 della forma : 







Ciò posto, se 







è un polinomio differenziale di siffatta specie, cambiando 

 in esso y in yz (con z altra funzione di x) si otterrà un 

 nuovo polinomio 



n{y) = ^-rrry' 



in cui i coefficienti y saranno polinomi differenziali in z , 



ognuno dei quali coinciderà col suo aggiunto (se è d' or- 

 dine pari) ne differirà solo per il segno (se è d' ordine 

 dispari). 



