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Ne segue che il polinomio Y; coinciderà col suo aggiunto 



(se n — i è pari) o ne differirà solo per il segno (se n — i 

 è dispari). 



In particolare, si ha : 







E poi facile provare che il polinomio differenziale f\ (?/) 

 sarà sempre diverso dal suo aggiunto, in valore assoluto 

 ed in segno (escluso il caso di f{y) = a^ ?/) . 



Infatti, se cosi non fosse, dovrebbe intanto risultare : 



Th-1 = — [(«-!' yn-i — («-l) Yn] = n Yn — T«-l ' 



Ma: 



Tn = «n ^ Tn-1 = ^n-i - + n a„ z' 



e perciò dovremmo avere : 



2 a,,_i z-{-2na^z' = n a! ^^ z^n %„ z' . 



Ed essendo 2a„_i=na^„, risulterebbe na„y='0; e quindi 

 a,j = (giacché z non si suppone costante). Dunque /'{y) 

 e fi [y] sarebbero d' ordine n — 1 . Ma allora, con ragio- 

 namento analogo, si proverà che dovrebbe essere pure : 

 a„_i = , a,^_2 = . . . a2 = , ai = ; cioè : f{ij) = a.^y . 



Infine, dimostriamo che, però, il prodotto zfi [y) sarà 

 sempre un polinomio in y che coinciderà col suo aggiunto, 

 ne differirà soltanto per il segno. 



A tale scopo, premettiamo che, qualunque sia f{y) , se 

 l'aggiunto di questo è ^ [y) , l'aggiunto di rj^ [y)= f(yz) 

 sarà (!i{i/) = zF{y) . 



Infatti, è noto che la condizione necessaria e sufficiente 

 affinchè due polinomi differenziali f{y) e F (tj) risultino 

 aggiunti uno dell' altro è che, qualunque siano le funzioni 

 y e z , sì ab1)ia identicamente : 



essendo ^ {y , z) una funzione ài y , z e delle loro derivate. 



