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falls einbiissen wiirde. Es bleibt also nur iibrig, die rein logische 

 Natur der arithmetischen Schlussweisen anzuerkennen, Damit ent- 

 stelit zugleich die Aufgabe, diese Natur da ans Licht zu setzen, 

 wo sie unmittelbar nicht erkannt werden kann, was in den Schriften 

 der Matbematiker sehr oft der Fall ist. Ich babe dies in Bezug 

 auf den Scliluss von n auf (n + 1) getban. 



Meine dritte Folgerung bezieht sicb auf die Definitionen wie 

 die zweite auf die Scblussweisen. Bei jeder Definition muss man 

 etwas als bekaunt voraussetzen , mittels dessen man erklart, was 

 man unter einem Namen oder Zeichen verstehen will. Man wird 

 einen Winkel nicbt wobl definiren konnen, ohne die Kenntniss der 

 geraden Linie vorauszusetzen. Nun mag das, worauf man sich 

 bei der Definition stiitzt, selbst friiber definirt sein; immer aber 

 wird man beim weitern Riickgange zuletzt etwas antreffen, was 

 undefinirbar ist, als Einfaches, nicht weiter Auflosbares anerkannt 

 werden muss. Und die Eigenscbaften, welcbe diesen Urbansteinen 

 der Wissenschaft zukommen, enthalten wie im Keime deren ganzen 

 Inhalt. In der Geometrie spricht man diese Eigenscbaften in den 

 Axiomen aus, soweit sie von einander unabbangig sind. Nun ist 

 es klar, dass die Grenzen einer Wissenscbaft durch die Natur 

 ibrer Urbansteine bestimmt sind. Haben wir es urspriinglicb wie 

 in der Geometrie mit raumlicben Gebilden zu thun, so wird auch 

 die Wissenscbaft auf das Raumlicbe eingescbrankt sein. Wenn 

 also die Aritbmetik von alien besondern Eigenscbaften der Dinge 

 unabbangig sein soil, so muss dasselbe von ihren Urbansteinen 

 gelten : sie mtissen rein logischer Natur sein. Daraus ergiebt sicb 

 die Forderung, alles Aritbmetiscbe durcb Definitionen auf das Lo- 

 giscbe zuriickzufiibren. So babe ich z. B. den von den Mathema- 

 tikern vielfacb gebrauchten Ausdruck „Menge" durch den in der 

 Logik iiblichen „Begriff" ersetzt; und dies ist nicbt -bios eine 

 gleichgiiltige Aenderung der Benennung, sondern fur die Erkennt- 

 niss der wahren Sachlage von Wicbtigkeit. Beim Worte „Menge" 

 denkt man so leicbt an eine Anbaufung von Dingen im Raume, 

 wie z. B. in dem Ausdrucke „Menschenmenge" ersicbtlich ist, und 

 man bleibt dann mit J. St. Mill so leicbt bei der kindlichen 

 Aufi"assung stehen, die Zahl selbst sei ein Haufe oder Aggregat 

 Oder doch wenigstens eine Eigenschaft eines Haufens, und halt 

 mit K. Fischer Rechneu fur aggregatives Denken. Man vergisst 

 dabei ganz, dass man auch Ereignisse, Methoden, Begriflfe zahlen 

 kann, aus denen sich doch keine Haufen bilden lassen. Indem 

 ich nun das, woran die Anzahl vorkommt, als Begriff kennzeichne, 



