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nur schade, dass sich die Dinge nicht daran kehrteii und unserer 

 Definition zuliebe weder ihre alten Eigenschaften aufgeben noch 

 neue annehmen. 



Diese so klare Sachlage wird vielleicht dadurch manchmal 

 verdunkelt, dass nicht deutlich erkennbar ist, was eigentlich defi- 

 nirt werden soil: das Zeichen | oder das Pluszeichen oder das 

 Gleichheitszeichen oder vielleicht eine Zusammenstellung mehrerer 

 dieser Zeichen. Es ist aber doch wohl ein berechtigtes Verlan- 

 gen, dass in jeder Definition nur ein Zeichen erklart werde, und 

 dass deutlich erkennbar sei, welches. Auch das ist ein Fehler, 

 wenn man eine blosse Vorschrift, wie eine Definition zu niachen 

 ist , oder die blosse Behauptung , man definire , fiir die Definition 

 selber ausgiebt. Diesen Fehler wurde ich z. B. begehen , wenn 

 ich sagen wollte : „ich definire das Pluszeichen so, dass ^-\-^ = l 

 ist". Dies ist gerade so, als ob ich sagen wollte : „ich fliege jetzt 

 in die Luft", dabei aber ganz ruhig auf der Erde bliebe. Es 

 kommt nicht darauf an zu sagen, dass man definire, sondern dass 

 man dies thue und zwar so, dass das Verlangte geleistet wird. 



Wer nun nicht weiss, wie sich die Sache geschichtlich ent- 

 wickelt hat, wird kaum verstehen, wie man dazu kommt, leere 

 Zeichen als die eigentlichen Gegenstande der arithmetischen For- 

 schung hinzustellen. Das erscheint nach dem eben Gesagten viel- 

 leicht ganz unsinnig, solange man keinen Beweggrund fiir eine 

 Behauptung kennt, welche ganz unnothige Schwierigkeiten zu 

 schaffen scheint. Ich muss also wohl darauf etwas eingehen. Die 

 positiven ganzen und gebrochenen Zahlen sind schon in vorwissen- 

 schaftlicher Zeit durch die Bediirfnisse des Lebens zur Anerken- 

 nuug gelangt. Mit einigem Widerstreben wurden die irrationalen 

 und die negativen Zahlen aufgenommen — die Griechen konnten 

 sich nicht recht zu ihrer Anerkennung entschliessen — ; mit noch 

 grosserem Widerstreben sind endlich die complexen Zahlen einge- 

 fuhrt. Die Ueberwindung dieses Straubens wurde nun durch die 

 geometrische Deutung erleichtert, damit aber etwas Fremdes in 

 die Arithmetik eingefiihrt. Es musste das Bestreben erwachen, 

 dies Geometrische wieder auszuscheiden. Es erschien widersinnig, 

 dass rein arithmetische Satze auf geometrischen Axiomen beruhen 

 sollten, und es mussten Beweise, die scheinbar eine solche Ab- 

 hangigkeit herstellten, als den wahren Sachverhalt verdunkelnd 

 erscheinen. Die Aufgabe war nicht abzuweisen, das Arithmetische 

 rein arithmetisch, d. h. rein logisch abzuleiten. 



Es lag nun nahe, diese hohern Zahlen aus ihren Eigenschaf- 



