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ten zu definiren, z. B. zu sagen : „V/¥ ist etwas, was iiiit sich selbst 

 multiplicirt 2 giebt". Eine solche Definition setzt eigentlich vor- 

 aus, dass die Multiplication vorber so definirt sei, dass sie sich 

 nicht nothwendig auf ganze Zablen bezieht. Sonst wiirde man 

 leicht in den fruher gertigten Fehler verfallen, zweierlei zugleich 

 zu definiren: v^¥ und die Multiplication. Doch dies nur beilaufig. 

 Durcb diese Erklarung bat man nun zunachst bios einen Begriff 

 gewonnen, und es entsteht die Frage, ob dieser Begriff leer oder 

 erfiillt sei. Es wiirde ein logiscber Fehler sein, nun sogleich den 

 bestimmten Artikel zu gebrauchen und zu sagen: „die Zahl, welche 

 mit sich multiplicirt 2 giebt" , oder „d i e Quadratwurzel aus 2", 

 solange man nicht bewiesen hat, dass es etwas der Art giebt und 

 zwar nur eins. Bis dahin darf man nur solche Ausdriicke wie 

 „eine Quadratwurzel aus 2", „alle Quadratwurzeln aus 2" gebrau- 

 chen, in denen man „Quadratwurzel aus 2" als Begriflfswort be- 

 handelt, also auch nicht als Glied einer Gleichung. Durch eine 

 solche Definition hat man zunachst noch gar nichts gewonnen, was 

 die gewiinschte Eigenschaft hat; denn der Begriff einer Zahl, 

 welche mit sich selbst multiplicirt 2 giebt, hat nicht die Eigen- 

 schaft, mit sich selbst multiplicirt 2 zu geben, ebensowenig, wie 

 der Begriff des rechtwinkligen Dreiecks ein Dreieck ist oder einen 

 rechten Winkel hat. Nun ist es fiir die Ableitung mancher Lehr- 

 satze gerade wesentlich, dass es solche hohere Zahlen giebt. Wie 

 man bei vielen Beweisen in der Geometrie Punkte oder Linien 

 nothig hat, die im Satze selbst nicht vorkommen, und wie es dann 

 jedesmal nothig ist , zu zeigen , dass es solche Hilfspunkte oder 

 Linien- giebt, so beweist man auch in der Arithmetik manche 

 Satze z. B. mit Hilfe der Wurzel aus — 1, in denen diese Grosse 

 selbst nicht vorkommt. Gabe es nun gar keine Zahl, deren 

 Quadrat — 1 ware , so wiirde damit der Beweis zusammenfallen. 

 Diesen Nachweis der Existenz will man nun, wie es scheint da- 

 durch unnothig machen, dass man sagt: „die Figur, welche ich 

 hier hinschreibe, ist selber die Zahl, ist selber der Gegenstand 

 der Betrachtung. Aber dadurch macht man sich die Sache doch 

 offenbar zu leicht. So wiirde man es ja immer in der Hand haben, 

 die Existenz scheinbar zu erharten und konnte damit die wunder- 

 barsten Dinge beweisen. Deshalb wird die Widerspruchslosigkeit 

 der Definition gefordert, wovon ich spater noch sprechen will. 

 Hier gentige der Hinweis darauf, dass die Eigenschaften , welche 

 durch eine Definition angegeben werden, nicht dem Zeichen zu- 

 kommen, und dass, wenn das Zeichen keine Bedeutung haben soli, 



