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auch keine Definition dabei moglich ist. Die Sachlage kann also 

 wohl so angegeben werden: entweder ist die Zahl eine geschrie- 

 bene Figur; dann ist freilich an ihrer Existenz nicht wohl zu 

 zweifeln ; aber sie hat gar nicht die Eigenschaften , die man von 

 ihr verlangt; oder die Zahl soil Inhalt eines Zeichens sein; dann 

 muss man den Nachweis liefern, dass das Zeichen in der That 

 etwas bezeichnet und nicht etwa gegen die Absicht leer ist. Es 

 kann nun die Existenz nicht mehr durch den Hinweis auf das 

 Zeichen begriindet werden, und dieses sinkt zur Bedeutung eines 

 unwesentlichen Hilfsmittels herab, das bei der ersten Rechtfer- 

 tigung der Zahl gar nicht erwahnt zu werden braucht. 



Man kann nun vielleicht dieser Schwierigkeit dadurch auszu- 

 weichen versuchen, dass man nicht die Zahlen, sondern die Rech- 

 nungsarten definirt, Es mag an einem Beispiele gezeigt werden, 

 warum dies nicht geht. Die Addition der Briiche z. B. muss all- 



0/ c 



gemein erklart werden , etwa so : Die Summe von ^^ und -^ ist 



"* — ' • Auf diesem Wege kann man nun niemals beweisen, 



dass die Summe von | und | 1 ist; denn man erhalt 



1-2+ 1-2 

 2-2 



Dies ist eine leere Figur und nicht die Zahl 1. Man wurde 

 hiernach auch nicht sagen konnen, dass | gleich f ist ; denn beide 

 sind nur Figuren. Ganz anders wird die Sache, wenn man diese 

 Figuren als Zeichen fur Inhalte auffasst; dann besagt die Glei- 

 chung, dass beide Zeichen denselben Inhalt haben. Wenn aber 

 kein Inhalt vorhanden ist, hat die Gleichung keinen Sinn. 



Man kann aber der Sache noch eine Wendung scheinbar zu 

 Gunsten dieser formalen Theorie geben. Man sagt etwa so : „Wir 

 definiren uberhaupt nicht, sondern setzen nur Regeln fest, nach 

 denen man von gegebenen Gleichungen zu neuen iibergehen kann, 

 wie man ftir das Fortriicken der Schachfiguren Regeln gegeben 

 hat. Ebensowenig nun wie eine Stellung der Schachfiguren eine 

 Wahrheit ausdriickt, hat eine Gleichung einen Sinn, solange sie 

 nicht lauter positive ganze Zahlen enthalt. Nun kann es vermoge 

 der Regeln geschehen, dass zuletzt eine Gleichung zwischen posi- 

 tiven ganzen Zahlen erscheint. Sind nun die Regeln der Art, dass 

 sie nie zu einem falschen Ergebnisse fiihren konnen, wenn von 

 wahren Gleichungen ausgegangen wird, so sind nur zwei Falle 

 moglich : entweder die Endgleichung ist sinnlos oder sie hat einen 



