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beurtheilbaren Inhalt, was immer eintritt, wenn sie nur positive 

 ganze Zahlen enthalt, und dann muss sie wahr sein, weil sie nicht 

 falsch sein kann". Es fragt sich nur, wie die Regeln einzurichten 

 sind, damit nie etwas Falsches herauskomme. Man sagt etwa so: 

 „Wenn die Regeln keinen Widerspruch weder unter sich noch mit 

 den Gesetzen der positiven ganzen Zahlen enthalten, so kann nie 

 bei ihrer noch so oft wiederholten Anwendung ein Widerspruch 

 hineinkommen ; die Endgleichung muss daher auch widerspruchs- 

 los sein und mithin wahr, falls sie iiberhaupt einen Sinn hat. 

 Das Letzte ist nun schon ein Fehler; denn ein Satz kann recht 

 wohl widerspruchsfrei sein, ohne darum wahr zu sein. Die Wider- 

 spruchslosigkeit gentigt also nicht; aber wenn sie auch genugte, 

 so miisste sie erst bewiesen werden. Man scheint das vielfach 

 nicht fiir nothig zu halten; aber das Beispiel der indirekten Be- 

 weise zeigt doch, dass ein Widerspruch nicht immer offen da liegt, 

 sondern oft erst durch eine Reihe von Schlussfolgerungen ans 

 Licht gebracht wird. Wie viele Schliisse dazu nothig sind, ist von 

 vornherein nicht zu sagen. Man kann also nicht wissen, wenn 

 man nach einer Reihe von Folgerungen keinen Widerspruch ent- 

 deckt hat, ob nicht doch bei weiterer Fortsetzung der Schlusskette 

 einer zu Tage kommen wurde. Der Beweis der Widerspruchslosig- 

 keit kann nun nicht dadurch gefiihrt werden, dass man sagt : diese 

 Regeln sind als Gesetze fiir die positiven ganzen Zahlen bewiesen, 

 mussen also widerspruchsfrei sein ; denn sie konnten immerhin mit 

 den besondern Eigenschaften der hohern Zahlen in Widerspruch 

 stehen, z. B. in's Quadrat erhoben — 1 zu geben. In der That 

 honnen ja auch bei hohern complexen Zahlen in einem Gebiet von 

 drei Dimensionen nicht alle Regeln aufrecht erhalten werden; 

 wenigstens der fiir die Algebra grundlegende Satz, dass ein Pro- 

 duct nur Null sein kann, wenn einer der Factoren Null ist, muss 

 fallen gelassen werden. Man sieht also, dass vermoge der beson- 

 dern Natur der hohern complexen Zahlen da ein Widerspruch ent- 

 stehen kann, wo bei ganzen positiven Zahlen keiner ist. 



Das Vertrauen, dass in den aufgestellten Rechnungsregeln fiir 

 die gemeinen complexen Zahlen kein Widerspruch enthalten sei, 

 beruht also wohl in dieser formalen Theorie darauf, dass man bis- 

 her keinen gefunden hat. Wenn man nun die Formel 



n(n—l) o • 9 , 



cosna = cos^a cos^^—^a sm^a + • • • 



JL * ^ 



mittels der complexen Zahlen beweist , indem man {cosa -\- isina) 



