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zur w-ten Potenz erhebt, so bewegt man sich dabei eigentlich in 

 einem Kreise. Trotz dieses Beweises konnte die Formel immer 

 noch falsch sein, und wenn man auf anderm Wege zu einer Glei- 

 chung gelangte, die mit jener nicht vereinbar ware, so wiirde 

 man zu sagen haben : hier wird offenbar, dass in den aufgestellten 

 Regeln fiir complexe Zahlen ein Widerspruch euthalten ist. Der 

 Beweis jener Formel beruht auf der Widerspruchslosigkeit der 

 Regeln fiir die complexen Zahlen und diese wird wieder dadurch 

 begrundet, dass man in keinem Falle auf einen Widerspruch ge- 

 stossen ist. In jeder andern Wissenschaft wiirde man sich mit 

 einer so grossen Wahrscheinlichkeit begniigen; aber die Mathe- 

 matik will ihre Satze beweisen, und ein Beweis ist dies wenigstens 

 in dieser formalen Theorie nicht. 



In einem ahnlichen Kreise bewegt man sich wohl, wenn man 

 sagt: Zahlen existiren, wenn man mit ihnen rechnen kann. Zu- 

 nachst konnte man wohl mit Recht fragen : welcher innere Zusam- 

 menhang besteht denn zwischen der Existenz und dem Rechnen? 

 Dann miisste man, um hiervon Gebrauch zu machen, eine Defini- 

 tion des Rechnens haben, um zu wissen, ob das, was man mit 

 einem Zeichen macht, Rechnen zu nennen sei. Kann man nicht 

 auch mit divergenten Reihen rechnen ? Dem Anscheine nach ganz 

 gut; nur kommt manchmal etwas Falsches heraus. Dadurch 

 wird die Definition nahe gelegt : Rechnen ist eine solche Operation 

 zu nennen, die nie zu falschen Ergebnissen fuhrt. Damit waren 

 wir wieder in unserm Kreise angelangt. Welche Mittel hat man 

 nun, um die Widerspruchslosigkeit zu beweisen? Ich sehe keinen 

 andern Grundsatz, der zu diesera Zwecke dienen konnte, als den, 

 dass Eigenschaften , die an demselbeu Gegenstande gefunden wer- 

 den, nicht in Widerspruch mit einander stehen. Hatte man aber 

 solchen Gegenstand, so ware diese formale Theorie iiberfliissig. 

 Es ist mir danach unwahrscheinlich, dass ein strenger Beweis fiir 

 die Widerspruchslosigkeit von Rechnungsregeln gelingen wird, ohne 

 den Boden dieser formalen Theorie zu verlassen. Aber selbst, 

 wenn er gelingen sollte, wiirde er nicht ausreichen, well noch nicht 

 wahr ist, was widerspruchslos ist. 



Es liegt hier ofi"enbar eine Schwierigkeit vor, und diese be- 

 steht in der Definition von Gegenstanden, wahrend man sonst nur 

 mit Definitionen von Begriffen zu thun hat; denn | z. B.' ist als 

 Gegenstand aufzufassen, wenn auch nicht als sinnlich wahrnehm- 

 barer oder nur raumlicher. Trotz dieser Unraumlichkeit und Un- 

 wirklichkeit ist | kein Begriff in dem Sinne, dass Gegenstande 



