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d^_ V (^ V OT - f?!l! - V, '^± ^ 

 cm ~ r^\\dt ) ' ^^^ — dt^^ — "^^ dti dti 



con a^g funzione delle g,.. Affinchè, qualunque siano le Qj si 

 possa ad esse associare delle forze Q/ tali che i due si- 

 stemi (A), (Al) siano corrispondenti, dovranno, per il teo- 

 rema citato del Painlevé, coincidere le geodetiche di ds^ e 

 dsi^. Dovendo perciò le geodetiche di dsi'^ essere rappresen- 

 tate ciascuna da un sistema di n — I equazioni lineari fra 

 le variabili indipendenti dovrà essere dsi'^ V elemento li- 

 neare di uno spazio di curvatura costante, essendo questi i 

 soli che godano della proprietà di avere le geodetiche rap- 

 presentate ciascuna da un sistema di n — 1 equaziomi li- 

 neari fra le variabili indipendenti. Ad ogni moto del sistema 

 (Al), quando dsi"^ è l'elemento lineare di uno spazio a cur- 

 vatura costante, corrisponde quindi un moto del sistema (A), 

 in cui ds^ è l'elemento lineare di uno spazio piano a curva- 

 tura nulla. La trasformazione unica che serve a passare da 

 (Al) ad (A) è per la {a) del § I, 



1 



dti = C ^l 1+'" dt = l{qiq^2- ■ ' Qn) di 



con C costante arbitraria e Aj il discriminante di ds^^ e le 

 relazioni fra le Q^ e Q/, che possono stabilirsi per il cal- 

 colo fatto al § I, sono : 





q/ q: = 



Supponendo ora che le Q,^ derivino da un potenziale Q, 

 nel qual caso per il sistema (A) si ha l'integrale delle 

 forze vive, vediamo se è possibile che anche le Q/ ammet- 

 tano un potenziale Q^ 



Sia dapprima dsi^ V elemento lineare di uno spazio di 



1 



curvatura costante negativa — — ; affinchè ogni geodetica 



