(186) 



[121 



si ricava ria queste che deve essere 



^ dQ , , d^Q , d /-, dQì 



•^^/^ d^ + ^r + eie) ^^^^ + cu d^ [Z, CL- ^J 



dQ, . , . . d^Q d / - dQ\ 



O/ 



- d,, + («' + *') dp^, + «- 3^. U> *■ di:) 



a cui può darsi la forma 



d / dQ, > d f dQ , \ 



(■^«) *' di; ( - ^^- dT + ' "^ ) = *di- 1 ^ '^" d-i. + ' S 



A questa equazione si può soddisfare sia prendendo Q 



funzione omogenea delle q di grado — 2, nel qual caso si ha 



dQ 

 Iq^. ^^ — |- 2 Q, = 0, sia prendendo Q funzione arbitraria di 



dq. 



dQ 



^q^'^, nel qual caso essendo sempre ^S^',, t — -|- 2Q funzione 



di 2g^2 la (29) è soddisfatta. 



Si può quindi in conclusione dare a Q l'espressione 



(30) Q = ^ {qe + gs^ + • • • + qn) + 



1 



qi 



? 



3l ^ì 



5 . • . I 



qì qO 



ove cp e 4" sono funzioni arbitrarie. Per Q' si ha dalle (27) 

 r espressione: 



(31) Q^ = R2 



«^^ '^ {qi + q^ + • • • + qn) 



{a^ — q,' — ga' . • • — qn) { q 



+ —^ 9 



qi 



qi 



q_n_ 

 qi 



Possiamo quindi concludere: 



« Affinchè ad ogni moto del sistema (Ai) [ove ds)^ è 



1 

 «l'elemento lineare di uno spazio a curvatura costante — ^j], 



« quando le forze ammettono un potenziale Q^ corrisponda 

 « un moto del sistema (A) [ove cW^ è l' elemento lineare di 

 « uno spazio piano], per cui pure le forze ammettano un 

 « potenziale Q, è necessario e sufficiente che Q'' abbia la forma 

 « (31), avendo àsi- la forma (25); Q ha poi la forma (30) ». 



