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Il caso in cui dsi'^ è 1' elemento lineare di uno spazio 



1 

 di curvatura costante positiva -r- si deduce subito dal pre- 



cedente. L'espressione dell' elemento lineare si ha dalla (25) 

 mutando R. a, q in i R, i a, i q (*), essa è quindi 



R^ 



(32) else = — {dqi' + dq^^ + • • • + ^Qn - dq') 



con g2 = a^ _^ ^^2 _j_ _|_ry„2 

 La trasformazione che serve al passaggio (A) ad (A^) è : 



(33) dt^=ldt = q-^ dt 



e l'espressioni dei potenziali sono per il sistema (A) 



1 i Qìi Qn\ 



(34) Q, = ^(gi^ + ^/ + ... + ryn^) + ^^?(— ,•• — ) 



e per il sistema (Ai) 



Q'=:R^ 

 (35) 



a^ ^ {qe + q~2 + • . , + Qn') 



/a^ + gi^ + .-.+g/) Iq, q^A 



Si ha quindi per questo caso un teorema analogo al 

 precedente. 



Quando si introducono nell'elemento lineare dello spazio 

 a curvatura costante le coordinate polari, che sono legate 

 alle q^ dalle relazioni 



con Xi^ _|_ ig^ _]_ _|_ x^j2 ^ 1^ le formolo stabilite divengono 

 le seguenti : 



Se la curvatura è — ;r:; si ha (^) 



R2 ^ ^ 



(1) V. Beltraini, meni. cit. 



(2) V. Beltrami, mera. cit. 



