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un fascio di S3 unito rispetto all' intero gruppo ; e in questo 

 fascio è pure unito (fìsso) almeno uno spazio S3. Un S3 

 generico di questo fascio sarà a sua volta unito per tutte le 

 operazioni di un sottogruppo dipendente da un parametro 

 di meno del gruppo complessivo ; epperò, se quest' ultimo 

 gruppo è almeno oo'*, e trasforma in se una certa varietà 

 M3, che si suppone non essere un cono, quell' S3 generico 

 dovrà incontrare questa varietà (all'infuori del piano base 

 del fascio, che potrebbe anche appartenere ad essa) secondo 

 una superficie [dello spazio ordinario) con un gruppo in- 

 tegrabile almeno oo3 di trasfoy^mazioni proiettile in sé. 

 Questa superficie sarà quindi un piano, un cono, una qua- 

 dìHca, una rigata di Cayley (i), senza escludere tuttavia 

 che la stessa sezione determinata da quell' S3 generico 

 possa anche comporsi di un certo numero {!> 1) di piani, 

 coni, quadriche. Vedremo anzi in seguito alcuni casi in 

 cui ciò effettivamente avviene (2). 



Cominciamo dal caso in cui tale sezione è un piano ; 

 caso che esauriremo in poche parole. Possiamo anzi suppor- 

 re, più generalmente, che la nostra varietà M3 sia soltanto 

 una serie coi di piani, sicché su questo caso si potrà poi sor- 

 volare ogni qual volta ci si presenterà nuovamente in seguito. 



(1) Lie: op. cit., voi. Ili, p. 196; Enriques, Atti Ist. Ven.^ s. IV, t. 5° e 6». 



(2) Fra le diverse varietà che ci si presenteranno ne troveremo 

 anche una con un gruppo integrabile non solo oc^, ma co^ di trasfor- 

 mazioni proiettive in sé. Non potrebbe però presentarsi il caso di una 

 varietà con un gruppo integrabile ancora più ampio (e quindi almeno 

 00^) di trasformazioni proiettive, a meno che non si trattasse di una 

 quadrica (M/) di un cono dell) spazio S4. Infatti un tal gruppo 

 ammetterebbe almeno una retta unita, fissa, e un S^ generico passante 

 per questa retta dovrebbe incontrare quella varietà secondo una super- 

 ficie con almeno 00^ trasformazioni proiettive in sé. Se questa super- 

 ficie si spezza in piani per la retta fissa, si ha un cono di 2^^ specie; 

 se è una quadrica un cono quadrico, si ha una M,.,-; se è un cono di 

 ordine superiore al secondo, si vede facilmente che di questo cono deve 

 esser fisso il vertice, e si ha quindi anche un cono (a tre dimensioni) 

 in S^. 



