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3. Un gruppo integrahiìe il quale trasformi io sé una 

 serie oo* di piani, non potrà subordinare in questa serie 

 che (al più) gc2 trasformazioni diverse. Trattandosi dunque 

 di un gruppo almeno oo*, vi sarà certo un sottogruppo al- 

 meno oo2 per il quale sarà unito ogni piano della s(erie ; 

 quindi, in ciascun piano, tutti i singoli punti in cui questo 

 stesso piano incontra i rimanenti. Questi punti formeranno 

 perciò, in ciascun piano^ una retta ; e in tutto avremo 

 cosi 00* rette, che dovranno incontrarsi a due a due, senza 

 però passare tutte per uno stesso punto ; esse staranno 

 perciò in un piano. Dunque : 



Gli 00 1 piani della nostra varietà M3 devono tutti in- 

 contrare secondo inette uno stesso piano direttore (i). 



Se il gruppo proposto G subordina nella serie coi di 

 piani un gruppo soltanto 00*, esso dovrà contenere un sot- 

 togruppo almeno oo3 (G^) per il quale sarà unito ogni piano 

 della serie ; e questo sottogruppo subordinerà in ciascuno di 

 questi piani il gruppo oc^ delle omologie aventi per asse 

 r intersezione del piano stesso col piano direttore. Un'ope- 

 razione generica di G' avrà dunque quest'ultimo piano co- 

 me luogo di punti uniti, e ammetterà ancora, fuori di esso, 

 altri col punti uniti, luogo dei quali sarà una retta diret- 

 trice della M3 (come serie ooi di piani). Di queste direttrici ne 

 avremo in tutto oo2, e ne passerà una per ogni punto della 

 M3 ; di qui segue che l'intersezione residua della M3 stessa 

 con un S3 generico passante per uno qualunque dei suoi 

 piani generatori sarà una rigata con ooi direttrici rettilinee, 

 dunque un piano, oppure una quadrica. La M3 è dunque 

 necessariamente un cono quadrico, oppure una varietà cu- 

 bica con piano doppio ; in ambo i casi essa ammette un 

 gruppo complessivo più ampio e non integrabile di trasfor- 

 mazioni proiettive (cfr. la mia Mem. cit., n.^ 24-26). 



(1) Ricadiamo dunque appunto nel caso de^l» ^' piani ottenuti 

 come sezioni con spazi S3 passanti per un piano anno. 



