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4. Supponiamo ora che il gruppo proposto G subordini 

 nella serie dei piani della varietà M3 co^ trasformazioni 

 diverse. Questo gruppo non potrà allora trasformare in se 

 nessuna involuzione nella serie stessa, epperò certamente : 



1.° Un S3 qualunque passante per il piano direttore 

 conterrà un solo piano della serie go^ ; 



2.° Due piani diversi di questa serie incontreranno 

 il piano direttore secondo rette distinte ; 



3° Queste rette non saranno altro che le tangenti di 

 una certa conica (perchè l'inviluppo loro deve ammettere 002 

 trasformazioni proiettive in sé, e non può essere un fascio). 



E qui è opportuno trasformare la questione per dualità 

 (in S4). Avremo, invece della varietà M3 con piano direttore, 

 una rigata razionale con direttrice rettilinea, tale che da 

 ogni punto di questa direttrice esce una sola generatrice di 

 essa; e la serie di queste generatrici sarà proiettata univoca- 

 mente da quella direttrice secondo gli oo* piani di un cono 

 quadrico di 2^ specie {}). Si può riconoscere facilmente che 

 questa rigala è contenuta in abneno oc* complessi lineari 

 di rette dello spazio S4 ; e perciò, ritenuto l' insieme delle 

 rette di S4 come una varietà Mg^ di uno spazio Sg (2), 

 a questa rigata, come serie oo* di rette, corrisponderà una 

 curva di uno spazio 24 contenuto in ^9. Questa curva dovrà 

 ammettere go2 trasformazioni proiettive in sé, perché cosi 

 appunto avviene della serie delle generatrici di quella ri- 

 gata ; essa sarà perciò una curva razionale normale, quindi 

 di ordine < 4. Ma l'ordine di questa curva è anche (come 

 si vede facilmente) l'ordine di quella rigata (come super- 

 ficie luogo); la nostra rigata sarà dunque anch'essa d'or- 

 dine non superiore al quarto, e anzi precisamente di quarto 



(1) Questa rigata è la superficie base di un fascio di quadriche 

 contenente questo cono di 2^ specie come sola quadrica degenere (cfr. 

 Se(;rf. : Elude des diffèrentes surfaces... ; Matli. Ann., XXIV). 



(2) Cfr. (y/vSTELNuovo : Ricerche di geomelria della retta nello 

 S'paziu a quattro dimensioni (Atti Ist. Ven., ser. VII, t. II). 



