[7] (1075) 



All'infuori della M33 con piano doppio (e dei coni), ab- 

 biamo dunque in S4 una sola varietà costituita da una 

 serie ooi di piani, là quale ammetta 00^ trasformazioni pro- 

 iettive in sé (formanti gruppo integrabile) ; essa è del 4° 

 ordine {}), e contiene un piano triplo, nel quale sono ve- 

 nuti a coincidere un piano direttore doppio e un piano 

 generatore. Questa varietà è proiezione di una M3'* normale 

 di Se, la quale ultima contiene sempre una rigata quadrica 

 direttrice; la proiezione deve farsi da una retta non inci- 

 dente a quella M3*, ma contenuta nell' S4 di questa qua- 

 drica e di un piano generatore qualunque. 



L'equazione di questa M3* di S4 si può mettere sotto 

 la forma 



Océ + OCì} Xz -\- xC X<2 Xi, -{- Xi x^ a?5 = 



essendo a?i = i»2 = il piano triplo. 



5. Escluso dunque d'ora in poi che la nostra M3 sia una 

 serie oo^ di piani, vi dovrà essere in S4 un piano iz unito 

 rispetto all'intero gruppo che si considera, e tale che i vari 

 S3 passanti per esso incontrino quella varietà secondo coni, 

 quadriche, rigale di Cayley. 



Dico anzitutto che quest'ultimo caso (rigata di Cayley) 

 si può riconduri'e al primo (coni). Ricordiamo infatti che 

 il gruppo oo3 delle trasformazioni proiettive che mutano in 

 sé una data rigata di Cayley ammette il piano cuspidale 

 di questa rigata come solo piano unito fisso, e in questo 

 stesso piano vi é pure un solo punto unito fisso (il punto 

 cuspidale) e una sola retta unita fissa (la direttrice rettili- 

 nea). E poiché il gruppo proposto, essendo integrabile, deve 

 ammettere nel piano unito ti un punto unito fisso P e una 



(1) Ai punti di questa varietà corrispondono per dualità gli S3 

 passanti per una qualunque g(3neratrice della rigata teste considerata. 

 E di quesli S, ve ne sono appunto quattro in ogni fascio (perchè quat- 

 tro generatrici si devono appoggiai'e al piano-asse del l'ascio). 



