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retta unita fissa p passante per questo punto, cosi si conclu- 

 de facilmente che questi stessi elementi ti, P e p saranno 

 rispettivamente piano e punto cuspidale e direttrice retti- 

 linea per ciascuna delle rigate secondo cui la varietà M3 

 è segata dagli S3 passanti per u. — Da ciascun punto della 

 retta p esciranno quindi oo^ rette della nostra M3 (una in 

 ciascun S3 del fascio n;), e queste formeranno un certo 

 cono. Io dico ancora : 



1.° Che ciascuno di questi coni è contenuto in uno 

 spazio S3. Infatti uno qualunque di questi coni è unito per 

 un sottogruppo almeno oo3 del gruppo complessivo, e quindi 

 per un sottogruppo almeno ooi saranno pure unite tutte le 

 sue generatrici. Se il cono appartenesse dunque ad S4, que- 

 st'ultimo sottogruppo dovrebbe comporsi di sole omologie; 



2.° Che questi spazi S3 contengono tutti la retta p. 

 Se no, infatti, essi segherebbero il piano tz secondo oo* 

 rette diverse, formanti in tc stesso un inviluppo, che non 

 sarebbe certo il fascio di centro P, ma sarebbe ugualmente 

 unito rispetto all' intero gruppo proposto. E ciò non è pos- 

 sibile (sempre per le note proprietà del gruppo proiettivo 

 oo3 di una rigata di Cayley) ; 



3.° Che questi spazi S3 formano fascio intorbo a un 

 altro piano r! (che naturalmente conterrà la retta p). Dal 

 gruppo complessivo si può infatti estrarre un sottogruppo 

 almeno oo^ per il quale siano uniti tutti gli oo* coni testé 

 considerati ; quindi tutti i punti di p, e tutti gli S3 di questi 

 coni ; quindi ancora, se tali S3 non formassero fascio, tutti 

 gli S3 e tutti i piani passanti per p. Ma sopra ciascun cono 

 sarebbero allora unite anche tutte le generatrici ; e ciò, per 

 tutto un gruppo oo^^ non è certo possibile. 



La nostra varietà M3 è dunque effettivamente incon- 

 trata dagli S3 passanti per un nuovo piano n' (che sarà 

 pure piano unito fisso) secondo coni. Ricadiamo così ap- 

 punto in un altro dei casi previsti come possibili. 



Se invece gli spazi 83 passanti per il piano fisso ti segano 

 la M3 secondo quadriche (non degeneri), si vede facilmen- 



