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1.° Che questo piano non contenga la retta r, e quindi 

 non r incontri affatto ; 



2° Che il piano u e la retta r si appartengano. 



8. Cominciamo col primo di questi due casi. Gli oo' 

 coni dovranno qui incontrare il piano n secondo altrettante 

 curve distinte, se no si avrebbe un cono di 2^ specie di 

 asse r. — D' altra parte in n stesso dovrà venir subordi- 

 nato un gruppo almeno oc^, perchè, quando fossero uniti 

 tutti impunti di %, lo sarebbero anche quelli di r, e ciò è 

 possibile soltanto per un sottogruppo oo'. Avremo dunque 

 in u un "gruppo proiettivo oo3 che trasforma in sé un si- 

 stema oo' di curve (non rette) ; tali curve saranno dunque 

 coniche, e formeranno un fascio, coi quattro punti basi 

 tutti infinitamente vicini. — Nel piano % assunto come 

 piano x^ = x^ =0 , questo fascio potrà rappresentarsi col- 

 r equazione : 



la quale, in S4 , rappresenterà il fascio dei coni quadrici 

 di 2^ specie che proiettano quelle coniche dalla retta 



a?! = ^2 = 073 = , 



che possiamo supporre sia la stessa r. — I coni della no- 

 stra serie 00' si potranno allora ottenere come intersezioni 

 di questi coni di 2^ specie con spazi del fascio Xl^=k'x5', 

 e possiamo anzi immaginare riferiti tra loro i due fasci 

 (di coni quadrici e di spazi) in modo che si corrispondano 

 le coppie di elementi incontrantisi secondo un cono della 

 nostra M3 . Tale corrispondenza è evidentemente (algebrica 

 e) biunivoca (perchè la serie dei coni della M3 è trasfor- 

 mata in sé stessa in 002 modi diversi, e non può ammet- 

 tere perciò involuzioni unite) ; essa sarà quindi proiettiva. 

 E' supposto che per elementi omologhi sia h' = k, si può 

 eliminare V unico parametro, e si ha 1' equazione : 



OJa^ — ^1 ^3 



Xi^ 



a?4 

 X5 



