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vranno formare un fascio, col centro A fuori di r ; il punto 

 A sarà anche unito rispetto all' intero gruppo proposto. — 

 Le rette b formerano pure una rigata invariante rispetto 

 a questo gruppo ; tale rigata non è certo un inviluppo piano 

 (perchè se no dovrebbe stare in un piano per r , e d' altra 

 parte un S3 generico per n contiene di essa una ed una 

 sola generatrice), e non può nemmeno appartenere allo 

 spazio S4 , perchè se no, imposto ad ogni generatrice di 

 essa di essere unita (con che si viene ad estrarre un sot- 

 togruppo almeno oo2), sarebbero uniti anche tutti i piani per 

 r , quindi tutte le generatrici degli oo^ coni della M3 (il 

 che è possibile soltanto per un gruppo oo*). — La rigata 

 delle b apparterrà dunque a uno spazio S3 , passante per 

 r e non per ti (quindi nemmeno per A) ; e, dovendo essere 

 invariante rispetto al gruppo G, essa sarà necessariamente 

 una quadrica di quello spazio. 



Il gruppo di cui si tratta ammette dunque un punto 

 unito e un S^ unito fìssi, che non si appartengono. Di 

 più, esso trasforma in sé una quadrica (non degenere) 

 di questo spazio S^. Si vede anzi che il gruppo stesso, es- 

 sendo integrabile e non potendo contenere infinite omologie, 

 Scxrk precisamente 00^ (e non più ampio). Avremo quindi va- 

 rietà M3 con sole 00* trasformazioni proiettive in sè^ a 

 meno che esse non possano considerarsi in infiniti modi 

 come serie 00* di coni, il che avviene solo per coni (a tre 

 dimensioni) e quadriche. 



Assumiamo il punto A come punto 



Xi =^ x^ ^^ Xa = Xi = 0, 



e la quadrica fissa come quadrica Xi x^, — 'X^ a?3 = delio 

 spazio ^5^0. Le equazioni del gruppo potranno allora 

 mettersi sotto la forma : 



Xi = Xi Xz =■ a {x^ -j- fi x^ 



^4 =,P {^1 + a x^ x( =r p a (074 A-.<^ ir3 -|- fi iTa -j- a fi Xi) 



x^ =: C x^ 



dove p , a , a , (i sono i quattro parametri, e C è una fun- 



