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ancora (ma esse soltanto) potersi trasformare 1' una nel- 

 r altra ; in quest' altro fascio verrà perciò subordinato un 

 gruppo finito, e quindi ciclico, cogli elementi uniti X e |i 

 = 0, 00 : gruppo che genererà appunto quell'involuzione 

 considerata di sopra. Le varietà corrispondenti a quella prima 

 varietà (del primo fascio) formeranno dunque precisamente 

 un gruppo di questa involuzione, e si otterranno quindi per 

 uno stesso valore della potenza V"- o |ji" . In altri termini, 

 r equazione della corrispondenza (m , n) , scritta nei pa- 

 rametri 1 e [y- come coordinate, conterrà le sole potenze 

 V"' e [x" , e sarà bilineare rispetto a queste. E poiché i va- 

 lori e 00 dell' un parametro devono anche corrispondere 

 agli stessi valori dell' altro (nello stesso ordine, o anche 

 scambiati), così 1' equazione dovrà assumere una delle due 

 forme : 



V'' = k II** ; V (7." = k 



Possiamo quindi scrivere in ogni caso : 



X = /è [X P 



dove p è numero razionale, positivo o negativo I =rt — l 

 Eliminando pertanto le X e [x si ha : 



(Xi X^ — Xi Xz) i5?, ^~2 ^=: k X^^ 



Corrispondentemente ad ogni valore particolare di p ab- 

 biamo non una sola, ma tutto un fascio di varietà M3 , cia- 

 scuna delle quali è trasformata in sé stessa dal gruppo G. 

 Ma le sole varietà del fascio che ammettono altre trasfor- 

 mazioni proiettive sono, come già si è detto, spazi S3 , coni 

 e, eventualmente, quadriche. 



Si vede ora facilmente che la funzione incognita C 

 1 



deve essere = (p df . 



Dagli spazi S3 appartenenti al fascio ^-2 = ^ a^ queste 



varietà sono segate secondo i coni (di questi spazi) : 



Xi ^-^ (£»?4 — lXz) = k X^^. 



