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piano 71 e fuori di r (perchè 1' esistenza di un tal punto 

 unito porterebbe con se quella di un S3 unito fisso pas- 

 sante per re non per u). 



Si può anche dimostrare (ciò che è quasi evidente a 

 priori) che nel gruppo complessivo di tutte le omografie 

 che trasformano in sé la nostra M3 è certo contenuto un 

 sottogruppo ooi di omografie rigate speciali, corrispondenti 

 al simbolo [(221)] o [(21)] (0, per le quali sono uniti tutti 

 i punti del piano ti , e tutti i piani e gli S3 passanti per r. 

 Queste sono anche le sole operazioni di quel gruppo com- 

 plessivo per le quali siano uniti tutti i punti di n ; sicché 

 se si tratta di un gruppo complessivo co" , questo dovrà 

 subordinare in t: stesso un gruppo precisamente oo'^-i. 



È stato già osservato (cfr. 1' ultima nota al n.° 2) che, 

 se la M3 non è una quadrica né un cono, deve essere k <b, 

 quindi k — 1 < 4 ; e anzi nel caso estremo yè = 5 la se- 

 zione della M3 con un S3 generico passante per r dovrà 

 essere una rigata di Cayley, la M3 stessa quindi una va- 

 rietà del terzo ordine. 



Possiamo però fare ancora due diverse ipotesi, vale a 

 dire che il gruppo complessivo G subordini sulla retta r 

 (quindi anche nel fascio u) oo2 trasformazioni diverse 

 (n. 12, 13), oppure soltanto ooi (n. 14, 15). 



12. Cominciamo coli' esaminare la prima ipotesi, sup- 

 poniamo cioè che su r venga subordinato il gruppo oo^ di 

 tutte le omografie aventi un dato punto unito P. — Nel 

 gruppo delle proiettività subordinate da G in ti sarà certo 

 contenuto un sottogruppo invariante oo2 composto di ope- 

 razioni permutabili (2) ; in G vi saranno quindi oo^ trasfor- 



(1) Cfr. i lavori dei Sigg Segre e Predella cit. alla fine del § 8. 



(2) Ciò segue direttaiuente dalla composizione dei gruppi integrabili 

 oc' e 00''; ed è anclie confermato dMHVnumerazione dei gruppi proiet- 

 tivi del pi;inii (Lie-Scheffers: Vorlesungen ùber contmuirliche Gvuppen, 

 p. 288). 



