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raazioni diverse subordinanti in u operazioni di quest' ul- 

 timo sottogruppo ; e queste formeranno a lor volta un sot- 

 togruppo G'' invariante entro G. Se il gruppo G è oo'* , è 

 chiaro che G' dovrà subordinare su r il gruppo parabolico 

 ooi per cui P è punto unito doppio; se G è co^, si potrà 

 anche scegliere G' in modo che cosi sia (•). Quanto al piano 

 n , non potendovi essere, fuori di r, nessun punto unito 

 fisso (perchè un tal punto sarebbe certo isolato, e quindi 

 fisso per tutto G), si può concludere che G'' dovrà subordinarvi 

 un gruppo oo^ di omografie aventi P come punto unito 

 triplo, oppure anche il gruppo oo^ delle omologie speciali 

 di centro P. — Gruppi analoghi verranno pure subordi- 

 nati nella rete di asse r, e precisamente, nei due casi, 

 un' operazione generica di G^ ammetterà, entro questa rete, 

 rispettivamente un solo spazio (e un solo piano) unito, oppure 

 tutto un fascio di spazi uniti (e tutto un fascio di piani 

 uniti, entro un determinato S3). 



Se, per un' operazione generica di G^ è P il solo 

 punto unito (in n), consideriamo, entro G^ stesso, un sot- 

 togruppo invariante oo^ generico G'', il quale subordini in n un 

 gruppo soltanto oo^, e trasformi quindi in sé tutto un fascio di 

 coniche di u aventi in P un contatto di 3° ordine. — As- 

 sunto P come punto fondamentale x^ = . .= ccj^ = , la r 

 come retta oci = Xi = x^ = \) , n come piano ooi = x^ = , 

 le equazioni di questo gruppo 00- potranno mettersi sotto 

 la forma : 



Xi = Xi 



X{ = X2-\-«'0Ci 



x{ = i^s -|- 2a ^2 -1- a2 x^ 



xl r= 0^4 + 3a a?3 -j- 3a2 x% -\- (a3 -\- (i) x^ 



x^ r- r»5 + 4 a^4 -f 6 a^ 0^3 + 4 {y? ^^)xt-\- (a* + 4a[i) x^ 



Questo gruppo trasforma in sé tutte le quadriche della rete : 



\ x^ -\- [J- {x^" —Xi x-i) -f- V {xi xti — 4xiX^-{-3 Xi') = 



(1) Vale a dire in modo che non si abbia sempre su r 1' identità. 



