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X x^- + ^ OGi x<^ -j- yx<r- + ^ [oc, x^^ -{-x^Xj^ — x^"^) = (i) 



nel quale vi sono oo^ reti aventi rispettivamente per basi gli 

 00^ coni quadrici invarianti, contenuti negli spazi che passano 

 per il piano ti (assunto come piano Xi=x^=^0). Questo 

 sistema lineare oo3 sarà puì-e invariante rispetto all'intero 

 gruppo G, il quale dovrà perciò subordinare in esso un 

 gruppo algebrico go^ di trasformazioni lineari. Possiamo 

 supporre anche qui (cfr. n.** 12) che non vi siano nel si- 

 stema infinite quadriche unite; ve ne saranno quindi (il 

 gruppo dovendo essere algebrico), o una sola (e precisa- 

 mente uno spazio doppio, ad es. Xi- = 0) da contarsi da 

 quattro volte, oppure quattro distinte e indipendenti. 



Quest' ultima ipotesi conduce, entro il sistema lineare 

 Go3, a un gruppo ooi che potrebbe rappresentarsi cosi : 



{x.x^y = g\x^x^) ; (x,X5 -\- x^Xj^ - x-^Y^ {x,x^ -{- x^x^ -x-^^) 



, 1 



dove però deve essere k= p- (/i -f- Z) ; e si può quindi porre : 



h==2a\k = a-\-b\l = 2b 

 Per il gruppo G si hanno allora le equazioni : 



x^' = p"' Xi 



x4 = p^ x<^ 



x^' = X'i^y'Xi-{-^ x<ì 



X,,'— p-^ {x^-\-2(x.Xi-\- a2 ia?2 _[- [a [i -j- y] x,) 



X.; z= p-« (^5 + 2 ^ ^3 + 1^' d7. 4- [a p - y] x<,) 



essendo p , a , p , y i (quattro parametri, e a , b costanti ar- 

 bitrarie, ma fisse per le diverse operazioni del gruppo oo\ 

 Rispetto a questo gruppo sono invarianti tutte le oc' 

 varietà: 



Xi^" ^2-2« {X, Xq -\-X2X,— X-^) "-" = G 



dove C è ancora una costante arbitraria. Queste varietà 



