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unito, noi veniamo a staccare da G' un sottogruppo oo^ 

 per il quale si vede facilmente che deve essere unito (fisso) 

 anche uno spazio S3 passante per r e non per tc ; e al va- 

 riare di quel punto sopra s , varierà questo spazio, descri- 

 vendo un certo fascio, il cui piano-asse tt' sarà distinto da 

 TI . Ogni S3 passante per k' dovrà incontrare la M3 (all'in- 

 fuori eventualmente di ti' stesso) secondo una rigata con 

 00' trasformazioni proiettive in sé, delle quali oo^ lascieranno 

 fissa ogni sua generatrice ; dunque secondo una quadrica. 

 Si può anche dimostrare che queste quadriche devono tutte 

 incontrare n , oltre che in r , in una stessa seconda retta t ; 

 sicché questa retta sarà pure fissa per tutto G. Il gruppo 

 G' subordinerà in ■Ji' le oo^ omologie di asse r e col centro 

 sopra ^ ; e il gruppo G vi subordinerà oo3 trasformazioni 

 diverse, sicché vi sarà in G stesso un sottogruppo oo* per 

 cui saranno uniti tutti i punti di u' . 



Di qui si trae facilmente che le equazioni del gruppo 

 G' devono potersi mettere sotto questa forma : 



X^ = Xi 



^^z = P (^3 + a oc,) 



x,; =f{x!,-\-^x,) 



iCg' = p^ (^5 -j- 2 a ;a?3 -|- a2 x, — p x<ì) 



sicché per G^ stesso, oltre agli spazi x,-\-\Xì = , sarà 

 pure invariante la quadrica 



X, X^ + ^2 ^4 — 053^ = ; 



quindi ciascuno degli 00' coni secondo cui questa quadrica 

 é incontrata da quegli spazi. Ma abbiamo già detto (cfr. 

 n.° 14) che, in questo caso, il gruppo G' non può trasfor- 

 mare in sé, entro ciascuno spazio del fascio tc , che un 

 solo cono quadrico ; sarà dunque la quadrica testé consi- 

 derata il luogo di questi 00' coni. E poiché le M3 che noi 

 andiamo cercando devono appunto comporsi di 00' coni in- 

 varianti rispetto a G', così esse non potranno che coincidere 

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