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Otteniamo quindi, proiettando la M.^^ da quello stesso 

 punto, una congruenza {2,2), duale di se stessa, composta 

 di quelle tangenti della superficie (1), che si appoggiano alla 

 sua retta cuspidale 572 = ^3 = , pur toccandola in gene- 

 rale fuori di questa retta. — La superficie (1) è poi toc- 

 cata dal piano 00^ = lungo la conìcaL 3 x^ x^ -\- x^^ == , 

 e ha il punto cc^ = X3 = x^ = come punto triplo uni- 

 planare, col piano tangente x<i = 0; questo piano l'incon- 

 tra secondo la sola retta x<^ = ^3 = (contata quattro volte). 

 — Questa superficie è naturalmente focale per la congruenza 

 (2,2), e precisamente luogo di un fuoco di una retta variabile 

 di essa ; 1' altro fuoco sta anche sulla superficie, ma non 

 descrive che la sola retta (singolare per la congruenza) 

 Xi = Xz = {') . — Superficie e congruenza devono am- 

 mettere 00^ trasformazioni proiettive in sé, perchè la Ms^ 

 da cui siamo partiti ne ammette in tutto oos , e quindi oo^ 

 che lasciano fisso un suo punto generico. Infatti la super- 

 ficie (1) è una particolare superfìcie di 4^ specie di Enriques 

 (Atti Ist. Veneto, ser. T t, IV, p. 1629), ed è trasformata 

 in se dal gruppo proiettivo oo^ : 



X^i' = 002 



x"^' = Q^{x^ — 2 ^ tCs — 3(^x<i 



Anche la varietà cubica incontrata al n." 8 condurrebbe, 

 per proiezione da un punto generico di essa, a una par- 

 ticolare congruenza (2, 2) con retta singolare. — La va- 

 rietà del 4° ordine considerata al n.° 12 condurrebbe a con- 

 gruenze di 2^ classe, e di 3° o 4° ordine. E vari casi si 



(1) Secondo la classificazione delle congruenze di 2" ordine con 

 linea singolare data dal sig. Sturm {Die Gehilde ersten und zweiten 

 Grades der Liniemgeometrie..., voi. II) questa congruenza appartai rebbe 

 alla suddivisione III, A. 3) (p. 333), l'Cr \^ ^4; ma sarebbe natural- 

 mente un caso molto particolare. 



