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mune quattro punti infinitamente vicini, di cui tre in linea 

 retta (ossia un flesso colla relativa tan^^ente, e un altro punto 

 infinitamente vicino a questo flesso). Un tale sistema può 

 rappresentarsi (in coordinate proiettive x^ , ^2 . ÌC3) coU'equa- 

 zione generale : 



d?i[(2„r'Ci^ -f" «22^2^ + 2a^<iX,X^2 -\- 2a|3£C,a73 -{- 2a23^2*"3] 

 = X^^-{-X,X-i'- (1) 



ed è trasformato in sé precisamente dal gruppo proiettivo 00'*: 



Xy = X[ 



X{ = p {X^2 -\- a -^l) 

 i 



^i = P "^ (^3 + [^ ^2 + T -^l) • 



La rappresentazione piana che co.sì si ottiene per il 

 sistema di rette contenuto in quella M^^ è la stessa che si 

 ha direttamente sulla reto di piani di asse r come forma 

 lineare oo^. 



18. Le varietà M3 dello spazio S,, che ammettono un 

 gruppo precisamente 00'' , transitivo e integrabile, di tras- 

 formazioni proiettive in sé, sono dunque le seguenti : 



1.° Varietà del 4° ordine composta di una serie 00' di 



(1) Infatti le cubiche aventi un flesso nel punto a:, =: ajj = 

 colla retta a'j = come tangente comune hanno equazioni del tipo 

 Xi f'-\- X2' =^0 , (love fé una t'orma quadratica qualsiasi. Due qua- 

 lunque di queste cubiche a?, f-\-X2^ = e x^ f-\-x./^0 determinano 

 un lascio contenente una curva che si spezza nella retta «-j = e nella 

 conica (generica) f — /'•' rrr . Se vogliamo imporre a quelle cubiche 

 di conteneie un nuovo punto fisso infinitaijiente vicino al primo, sarà 

 necessario (e sufficiente) che questa conica /"— /"•' = passi sempre 

 per il punto Xi =^ x^ = , vale a dire che nelle forme /",/",.. . (nelle 

 quali sono essenziali tutti i coefficienti, e non soltanto i loro mutui 

 rapporti) il termine in x^- abbia sempre uno stesso coefficiente, che 

 dovrà essere diverso da zero (se no si avrebbe in Xi = Xy = un punto 

 doppio), e che può quindi supporsi eguale all' unità (dis[)0ncndo op- 

 portunamente del punto unità del sistema di coordinate). 



