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differenziale quadratica sii* di T classe (*), che, per il nostro 

 caso, sono : 



a. a'*''^' = h,^u^i &,f2s+2 — ^,-+i.+2 ^^•+2.s-fi [b,., — b,,) (I) 



brst^K, (II) 



dove è posto : 



e ricordando il significato geometrico degli invarianti al- 

 gebrici assoluti comuni alla forma <p2 e a quella di elementi 

 &,., , si ha dapprima 



^ d- ^11 bn bii = I>±z a'<ii> a''22) a'(:«) = o ; 



e di qui, indicando con I l'invariante 2^., a,.^ a^*'-'' , che rap- 

 pre:>enta il prodotto delle curvature non nulle della super- 

 ficie a tre dimensioni, e prenderà il nome di curvatura di 

 Gauss della superficie stessa, e con a<'"^ gli elementi di un 

 sistema semplice controvariante, per cui sussiste la relazione: 



si trova : 



a^<'-) ::=r I a^'a*'^' . (1) 



Verificate queste condizioiii, si dimost)'a che le b,., possono 

 porsi sotto la l'orma : 



brs = c^,^, + gXrXs (2) 



nelle quali e e g sono in generale da determinarsi, e rap- 

 presentano le due curvature non nulle della superficie, 

 mutate di segno, e le [i,. e y,. sono gli elementi di due sistemi 

 semplici, legati fra di loro e con le a^ dalle relazioni: 



\ a'''» a,. = ^,. [i*'"' ^, = ^, f Y,- = 1 



(1) V. Ricci. Principi! di una teorin delle forme ditìerenziali qua- 

 dratiche; Annali di Mate malica pwa e applicata, serie 2*; t 12". 



