]^4 Keller, monoconfocale Kegelschnitte. 



die vier gesuchten Schnittpunkte je paarweise conjugirt 

 und können daher als Schnittpunkte dieser Geraden mit 

 einem der zwei gegebenen Kegelschnitte nach Aufgabe 1 

 gefunden werden. — Natürlich kann das eine oder das 

 andere Paar der Schnittpunkte imaginär ausfallen, oder 

 auch beide Paare zugleich; unter allen Umständen sind 

 ihre Verbindungsgeraden s^2^ — ^12 ^'^^U und bestimmt. 

 Fällen wir z. B. von dem Schnittpunkte X die Lothe 

 XXj, X X2 resp. auf die Spuren l^, l<^ und bezeichnen 

 die Winkel , welche die Sehne SXY mit l^ und l^ ein- 

 schliesst, mit (p^ und (p.^, so ergibt sich: 



sm q>, = ^^, sm <3P, = ^^, hieraus -^ = ^X^' 



da aber tg a, = ^, tg a, = fj, oder J^ = fj 



SO folgt -^-^ = 1 : 7^—^ d. h. : 

 ° sin 92 tg ^2 



Die Sehne SXY theilt den Winkel der zwei Spuren l^ , I2 

 in dem umgekehrten Verhältnisse der Winkel «j , «g ; das- 

 selbe ist der Fall mit der anderen Sehne S Z TJ\ hieraus 

 folgt : DerWinkel der zwei Spuren wird durch 

 die Sehnen SXY^ SZÜ harmonisch getheilt. 

 — Noch einfacher als so folgt diese Eigenschaft aus den 

 Schnittpunkten iV, — N der bei der Construction von s^g, 

 — 5i2 verwendeten Niveaulinien, denn diese liegen sym- 

 metrisch zum Schnittpunkte L^ von I2 mit n^, 



4. Aufgabe. Man construire die Kegelschnitte durch 

 drei gegebene Funkte X, F, Z. 



Alle Kegelschnitte, welche durch die zwei Punkte r,Z 

 gehen (Fig. 10), haben die Ebenen zweier Büschel, deren 

 Scheitelkanten 8^^ Y Z, — S^^ Y Z nach Fig. 4 ermittelt 

 werden können, zu ihren Correspondentinnen ; ebenso ent- 



