der elementaren Abbildungs-Metlioden. 153 



(las einfache Hyperboloid enthält zwei Systeme gerader 

 Mantellinien unter 45° zur Tafel; die symmetrisch zur 

 Haupt- und Tafel-Ebene gelegenen Punktepaare beider 

 Hyperboloide haben je denselben Bildkreis und von einem 

 zum andern Bildkreise mit constanter Diiferenz der Badien- 

 quadrate (Art. 94). Verschiebt man aber die Tafel 

 parallel sich selbst um einen Betrag d, so nehmen die Ab- 

 stände aller Punkte auf der einen Seite derselben um d 

 ab und auf der anderen um d zu, so dass die vorher sym- 

 metrischen Paare mit gleichen Bildkreisen nun concen- 

 trische Bildkreise mit der constanten Radien- 

 differenz 2 cZ liefern; alle Kreise dieses zweifach unend- 

 lichen quadratischen Systems (Art. 133) schneiden den 

 Spurkreis des Hyperboloids unter einem constanten 

 Winkel ö, dessen Cosinus der Cotangente des AYinkels « 

 gleich ist, welchen die Tangentialebenen des Hyperboloids 

 in den Punkten jenes Spurkreises mit der Tafelebene bil- 

 den (Art. 95, 97 f.). So liefern die einfachen gleichsei- 

 tigen Rotations-Hyperboloide die Systeme mit constantem 

 reellen und die zweifachen die mit constantem nicht 

 reellen Schnittwinkel zu ihren bezüglichen Parallelkreisen; 

 ich erwähne nur, dass die Bestimmung der Systeme von 

 constantem Schnittwinkel mit imaginärem Grundkreis sich 

 aus den zweifachen Hyperboloiden mit derselben elemen- 

 taren Einfachheit constructiv ergibt, wie für reellen. 



Damit erhalten alle Bestinnnungen über Kreise mit- 

 telst ihrer Punkte, resp. Tangenten, wie mittelst ihrer 

 Berührung oder ihres Schnittes mit geraden Linien oder 

 mit Kreisen ihre anschauliche Interpretation im dreidimen- 

 sionalen Räume und die Untersuchung von Systemen und 

 Gruppen derselben, die solchen Bedingungen entsprechen, 

 wird zur Untersuchung der zugehörigen Flächen, ihrer ge- 



