290 Keller, elementar-geometrisches Problem. 



Sind ^, V (Fig. 1) die Asymptoten und a, 6 zwei 

 beliebige weitere Tangenten einer Hyperbel, so behaupten 

 wir 



^(it,«',&; = ^a,t',a; oder ^BOB' = ^i AOA!. 



Zum Beweise hiefür fassen wir die zwei projecti vischen 

 Punktreihen in's Auge, in welchen die Hyperbeltaugenten 

 die Asymptoten schneiden; bezüglich derselben ist die 

 unendlich ferne Gerade als die Verbindungslinie der Be- 

 rührungspunkte von ^, V mit der Hyperbel die perspec- 

 tivische Axe; auf dieser haben sich die 2 Geraden AB'^ 

 A*B zu schneiden, d. h. sie sind parallel ; nun ist 



dAOB' = ^AOB' 



JAB'B = /IAB'A' 

 daher ^AOB' — ^ AB'B = JA0B' — J AB'A' 

 d. h. ^BOB' = ^AOA'. 



Wenn daher die Alten die Aufgabe lösten, ein ge- 

 gebenes Dreieck in ein anderes, flächengleiches über vor- 

 geschriebener Grundlinie zu verwandeln, so construirten 

 sie im Grunde genommen eine neue Tangente an eine 

 Hyperbel, bestimmt durch ihre Asymptoten und eine Tan- 

 gente. 



Um den Berührungspunkt der Tangente a zu finden, 

 benutzen wir den Satz, dass für ein einem Kegelschnitt 

 umschriebenes Dreiseit die Verbindungslinien der Ecken 

 mit den Berührungspunkten der gegenüberliegenden Seiten 

 durch einen Punkt gehen (spec. Form des Brianchon'- 

 schen Satzes). Für das Dreiseit 1 1' a ist dieser Punkt 

 die 4. Ecke 0* des Parallelogrammes AOA'0^\ somit 

 schneidet die Diagonale 00"^ desselben aus a den Be- 

 rührungspunkt A* und daher ist 



A*A = A''A'] 



