292 Keller, elementar-geometrisches Problem. 



Das Doppelverhältniss dieser 4 Punkte erhält somit den 

 Werth: 



/Y ir T T\ — °° ~ ^'i ^^ . °Q — ^'2 ^' _ ^2 



d. h. er ist von A unabhängig. Auf analoge Weise findet 

 man für eine Transversale durch Xg denselben Werth 

 des Doppelverhältnisses. Es mag noch bemerkt werden, 

 dass dieser Werth positiv ist für zwei Ellipsen; positiv 

 oder negativ für zwei Hyperbeln, je nachdem die Be- 

 rührungspunkte resp. auf verschiedenen Aesten oder auf 

 demselben Aste einer der Hyperbeln liegen; für zwei 

 Parabeln ist er = 1, weil sie zusammenfallen. 



Es liegt aber in der Natur der Sache, auch einen 

 rein-geometrischen Beweis für diesen 2. Satz zu haben. 

 Ein solcher wird uns sehr nahe gelegt durch die Eigen- 

 schaft centrisch-collinearer Figuren in derselben Ebene, 

 wonach auf jedem Strahle durch das Collineations-Centrum 

 2 entsprechende Punkte mit diesem und dem Schnitt- 

 punkte mit der Collineationsaxe ein constantes Doppel- 

 verhältniss bilden. Unsere zwei sich doppelt berührenden 

 Kegelschnitte K^, Zg können nämlich als collineare Fi- 

 guren in centrischer Lage aufgefasst werden entweder 

 mit X2 als Centrum und X2 als Axe oder mit X3 als 

 Centrum und x^ als Axe; daraus folgt, dass auf 2 be- 

 liebigen durch X2 gehenden Strahlen die Doppelverhält- 

 nissgleichheit besteht: ^ 



(x, xi's r^ r?) = (X. xrs* r?* r?*) ; 



ebenso auf '2 beliebigen durch X3 gehenden Strahlen: 

 (X3 Xl'.^ T\« Tf) = (Xs X,T* T'i"* Tf*). 



Es ist aber auch 



(X2 Xi; T\' T?) = (X3 Xi',' Tf Tf); 



