294 Keller, elementar-geometrisches Problem. 



BA und CA in 2 Punkten, die mit A ein Dreieck bilden, 

 dessen Inhalt natürlich auch gleich der Hälfte des Inhaltes 

 des gegebenen Dreieckes ist. 



Liegt P im Unendlichen, so fallen die zwei Strahlen 

 1, 2' mit der unendlich fernen Geraden zusammen; die 

 projectivischen Büschel aus P verwandeln sich daher in 

 involutorische (ein Paar, 1,2'; 1', 2 entspricht sich ver- 

 tauschungsfähig) und der Strahl nach A ist der Central- 

 strahl der Involution; die 2 Tangenten liegen daher in 

 diesem Falle symetrisch zu J., was auch sehr natürlich, 

 da A der Mittelpunkt der Hyperbel ist. 



Hätten wir den Punkt P in dem über der Dreiecks- 

 seite BC liegenden Winkelraupi, z. B. in P* gewählt, so 

 läge er im Innern der Hyperbel und es gingen von ihm 

 aus an sie keine reellen Tangenten; augenscheinlich 

 existirt aber auch in diesem Falle eine das Dreieck hal- 

 birende Transversale. Hieraus erhellt, dass unser Problem 

 eine noch nicht in allen Theilen befriedigende Lösung 

 gefunden hat; wir müssen vielmehr auch die Seitenpaare 

 CP, AB und AC, BC in gleicher Weise berücksichtigen, 

 wie vorhin das Paar BA, CA. Wir wollen die Hyperbeln, 

 welche diesen 3 Seitenpaaren entsprechen, resp. mit H^, 

 H^ und H^ bezeichnen (Fig. 4). Es mögen nun folgende 

 sofort in die Augen springende Eigenschaften dieses Hy- 

 perbeltripels erwähnt werden. Je zwei von ihnen haben 

 eine der Dreiecksseiten zur gemeinsamen Asymptote und 

 berühren sich ausserdem in einem der Mittelpunkte Tg 3, 

 T31, 2^2 der Mittellinien des Dreiecks mit dieser als 

 Tangente. Die 3 Hyperbeln repräsentiren somit ein 

 System von 3 Kegelschnitten, von denen je 2 sich 

 doppelt berühren; je 3 der Berührungspunkte liegen 

 auf einer Geraden, d. h. die 6 Berührungspunkte 



